Giáo án dạy thêm Toán 12 kết nối Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Bước 1: GV chuyển giao nhiệm vụ học tập.

- GV đặt câu hỏi và cùng HS nhắc lại kiến thức phần lí thuyết cần ghi nhớ trong bài “Tính đơn điệu và cực trị của hàm số” trước khi thực hiện các phiếu bài tập.

- GV đặt câu hỏi:

1. Tính đơn điệu của hàm số.

 - Nhắc lại khái niệm tính đơn điệu của hàm số.

- Định lí về mối quan hệ giữa tính đơn điệu và dấu của đạo hàm.

- Các bước xét tính đơn điệu của hàm số.

2. Cực trị của hàm số.

- Nhắc lại khái niệm cực đại, cực tiểu của hàm số.

- Cách tìm cực trị của hàm số.

Bước 2: Học sinh thực hiện nhiệm vụ học tập.

- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

Bước 3: Báo cáo kết quả hoạt động, thảo luận.

- Đại diện một số HS đứng tại chỗ trình bày kết quả.

Bước 4: Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập.

- GV đưa ra nhận xét, đánh giá chuẩn kiến thức.

1. Tính đơn điệu của hàm số.

a) Khái niệm tính đơn điệu của hàm số.

Giả sử  là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và  là hàm số xác định trên .

* Hàm số  được gọi là đồng biến trên  nếu .

*  Hàm số  được gọi là nghịch biến trên  nếu .

Chú ý

- Nếu hàm số đồng biến trên  thì đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải.

- Nếu hàm số nghịch biến trên  thì đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải.

Ví dụ:   Quan sát đồ thị hàm số  và tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Giải

- Hàm số đã cho có tập xác định là

- Hàm số đồng biến trên , nghịch biến trên các khoảng  và .

Định lí

Cho hàm số  có đạo hàm trên khoảng .

a) Nếu  với mọi  thì hàm số  đồng biến trên khoảng .

b) Nếu  với mọi  thì hàm số  nghịch biến trên khoảng .

Chú ý

Định lí trên vẫn đúng trong trường hợp  bằng 0 tại một số hữu hạn điểm trong khoảng .

Ví dụ: Tìm các khảng đồng biến, nghịch biến của hàm số                  

Giải

- Hàm số đã cho có tập xác định

- Ta có:  

  với ;

  với .

Vậy hàm số nghịch biến trên  và .

b) Sử dụng bảng biến thiên để xét tính đơn điệu của hàm số.

Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số

1. Tìm tập xác định của hàm số.

2. Tính đạo hàm . Tìm các điểm  mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

3. Sắp xếp các điểm  theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên của hàm số.

4. Nếu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Ví dụ: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

Giải

- Hàm số đã cho có tập xác định

- Ta có:  với ;

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên  và .

2. Cực trị của hàm số.

a) Khái niệm cực trị của hàm số.

Cho hàm số  liên tục và xác định trên khoảng  ( có thể là  có thể là ) và điểm .

* Nếu tồn tại số  sao cho  với mọi  và  thì ta nói hàm số  đạt cực đại tại .

*  Nếu tồn tại số  sao cho  với mọi  và  thì ta nói hàm số  đạt cực tiểu tại .

Chú ý

* Nếu hàm số  đạt cực đại tại  thì  được gọi là điểm cực đại của hàm số . Khi đó,  được gọi là giá trị cực đại của hàm số  và kí hiệu là  hay .

Điểm  được gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

* Nếu hàm số  đạt cực tiểu tại  thì  được gọi là điểm cực tiểu của hàm số . Khi đó,  được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số  và kí hiệu là  hay .

Điểm  được gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

* Các điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số.

Ví dụ: Dựa vào đồ thị hàm số  hãy chỉ ra các điểm cực trị của đồ thị.

Giải

Từ đồ thị hàm số, ta có:

Hàm số đạt cực tiểu tại  và .

Hàm số đạt cực đại tại  và .

b) Cách tìm cực trị của hàm số.

Định lí:

Giả sử hàm số  liên tục trên khoảng  chứa điểm  và có đạo hàm trên các khoảng  và . Khi đó:

a) Nếu  với mọi điểm  và  với mọi điểm  thì hàm số  đạt cực tiểu tại điểm

b)   Nếu  với mọi điểm  và  với mọi điểm  thì hàm số  đạt cực đại tại điểm

Cách tìm cực trị của hàm số.

1. Tìm tập xác định của hàm số.

2. Tính đạo hàm . Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm  bằng 0 hoặc không tồn tại.

3. Lập bảng biến thiên của hàm số.

4. Từ bảng biến thiên suy ra cực trị của hàm số.

Ví dụ: Tìm điểm cực trị của hàm số

- Hàm số có tập xác định là .

- Ta có:

              hoặc .

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đạt cực đại tại  và

Hàm số đạt cực đại tại  và

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Xét tính đơn điệu của hàm số cho bởi biểu thức

Phương pháp giải:

- Tìm tập xác định của hàm số.

- Tính , tìm các điểm  mà tại đó đạo hàm bằng  hoặc không xác định.

- Lập bảng biến thiên (sắp xếp các điểm  theo thứ tự tăng dần và xét dấu đạo hàm).

- Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến.

Bài 1. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

a.	b.
c.	d.
e.	g.

Bài 2: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

a.	b.
c.	d.

Bài 3: Chứng minh rằng:

a. Hàm số  luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

b. Hàm số  luôn đồng biến trên .

c. Hàm số  đồng biến trên khoảng .

d. Hàm số  luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

e. Hàm số  luôn nghịch biến trên .

DẠNG 1:

Bài 1: 

a. 

- Tập xác định của hàm số là: ℝ.

- Ta có:

              hoặc

- Ta có bảng xét dấu của  như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng  và ; hàm số nghịch biến trên khoảng .

b.  

- Tập xác định của hàm số là: ℝ.

- Ta có:

(Vì )

Vậy hàm nghịch biến trên ℝ.

c. 

- Tập xác định của hàm số là: .

- Ta có: .

Vậy hàm nghịch biến trên  và .

d. 

- Tập xác định của hàm số là: .

- Ta có: .

              hoặc . 

- Ta có bảng xét dấu của  như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng  và ; hàm số nghịch biến trên khoảng  và . 

e.

- Hàm số đã cho có tập xác định .

- Ta có:

- Ta có bảng xét dấu của  như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng  và , nghịch biến trên các khoảng  và .

g. 

- Hàm số đã cho có tập xác định .

- Ta có:

- Ta có bảng xét dấu của  như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng  và , nghịch biến trên khoảng  và .

Bài 2: 

a. 

- Tập xác định của hàm số: .

- Ta có: .

Vậy hàm nghịch biến trên  và .

b.

- Tập xác định của hàm số là: .

- Ta có:

                hoặc

- Bảng biến thiên của hàm số là:

Vậy hàm số nghịch biến trên  và , đồng biến trên .

c. 

- Tập xác định của hàm số là: .

- Ta có:

               hoặc

- Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy hàm số đồng biến trên , nghịch biến trên và .

d. 

- Ta có: ;

hoặc  hoặc  

- Bảng biến thiên của hàm số là:

Vậy hàm số đồng biến trên , nghịch biến trên.

Bài 3:

a. 

- Hàm số đã cho có tập xác định

- Ta có:  với ;

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên  và .

b.  

- Hàm số đã cho có tập xác định

- Ta có:  với mọi .

Vậy hàm số đồng biến trên

c. 

- Hàm số đã cho có tập xác định .

- Ta có:

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng .

d. 

- Hàm số đã cho có tập xác định

- Ta có:  với mọi

Vậy hàm số nghịch biến trên  và .

e. 

- Hàm số đã cho có tập xác định là

- Ta có:

Xét

Xét

 với mọi

Vậy hàm số nghịch biến trên

DẠNG 2: Xét tính đơn điệu của hàm hợp cho bởi bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số  hoặc .

Phương pháp giải:

- Ta có hàm hợp ,  là một hàm đối với biến .

- Tính

- Giải các bất phương trình  hoặc lập bảng xét dấu của

- Đưa ra kết luận.

Bài 1. Cho hàm số . Hàm số  có đồ thị như hình vẽ.

Hàm số  đồng biến trên khoảng nào.

Bài 2. Cho hàm số  xác định liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau:

Tìm các khoảng đồng biến của hàm số .

Bài 3. Cho hàm số  xác định liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau:

Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số .

Bài 4. Cho hàm số  có đạo hàm trên  và có đồ thị hàm số  như hình vẽ:

Hàm số  đồng biến trên khoảng nào?