Giáo án powerpoint dạy thêm Toán 11 kết nối Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

THÂN MẾN CHÀO ĐÓN CẢ LỚP ĐẾN VỚI TIẾT HỌC HÔM NAY! 

KHỞI ĐỘNG 

Nêu tập nghiệm của phương trình lượng giác sin⁡x=a? 

CHƯƠNG I:  

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 

BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH  

LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 

HỆ THỐNG  
KIẾN THỨC 

1. Khái niệm phương trình tương đương

• Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm
• Nếu phương trình f(x)=0 tương đương với phương trình g(x)=0 thì ta viết

f(x)=0⇔g(x)=0 

Ví dụ: Hai phương trình  

x+2=0 và x^2+4x+4=0 

2. Phương trình sin⁡x=m

- Phương trình sin⁡x=m có nghiệm khi và chỉ khi |m|≤1 

"- Khi " |m|≤1", sẽ tồn tại duy nhất " α∈[-π/2;π/2]" thoả mãn" sin⁡α=m 

Khi đó 

 sin⁡x=m⇔sin⁡x=sin⁡α⇔[■(x=α+k2π@x=π-α+k2π)  (k∈Z)┤. 

Chú ý 

1. a) Nếu số đo của góc α được cho bằng đơn vị độ thì

sin⁡x=sin⁡α^∘⇔[■(x=α^∘+k〖360〗^∘@x=〖180〗^∘-α^∘+k〖360〗^∘ )     (k∈Z)┤ 

1. b) Một số trường hợp đặc biệt:

sin⁡x=0⇔x=kπ,k∈Z 

sin⁡x=1⇔x=π/2+k2π,k∈Z 

sin⁡x=-1⇔x=-π/2+k2π,k∈Z 

3. Phương trình cos⁡x=m

• Phương trình cos⁡x=m có nghiệm khi và chỉ khi |m|≤1
• Khi |m|≤1, sẽ tồn tại duy nhất α∈[0;π] thoả mãn cos⁡α=m
• Khi đó

cos⁡x=m⇔cos⁡x=cos⁡α⇔[■(x=α+k2π@x=-α+k2π)□(   ) (k∈Z)┤. 

Chú ý 

1. a) Nếu số đo của góc α được cho bằng đơn vị độ thì

cos⁡x=cos⁡α^∘⇔[■(x=α^∘+k〖360〗^∘@x=-α^∘+k〖360〗^∘ ) (k∈Z)┤ 

1. b) Một số trường hợp đặc biệt:

cos⁡x=0⇔x=π/2+kπ,k∈Z 

cos⁡x=1⇔x=k2π,k∈Z 

cos⁡x=-1⇔x=π+k2π,k∈Z 

4. Phương trình tan⁡x=m

- Phương trình tan⁡〖x=m〗 có nghiệm với mọi m 

"- Với mọi " m∈R", tồn tại duy nhất " α∈(-π/2;π/2)" thoả mãn"  tan⁡〖x=m〗 ". Khi đó" 

tan⁡x=m⇔tan⁡x=tan⁡α⇔x=α+kπ   (k∈Z) 

Chú ý: Nếu số đo của góc α được cho bằng đơn vị độ thì  

tan⁡x=tan⁡〖α^∘ 〗⇔x=α^∘+k〖180〗^∘ □(  ) (k∈Z). 

5. Phương trình cot⁡x=m

- Phương trình cot⁡〖x=m〗 có nghiệm với mọi m 

"- Với mọi " m∈R", tồn tại duy nhất " α∈(0;π)" thoả mãn"  cot⁡〖x=m〗 ". Khi đó" 

cot⁡x=m⇔cot⁡x=cot⁡α⇔x=α+kπ   (k∈Z) 

Chú ý: Nếu số đo góc α được cho bằng đơn vị độ thì  

cot⁡x=cot⁡〖α^∘ 〗⇔x=α^∘+k〖180〗^∘ □(  ) (k∈Z). 

LUYỆN TẬP 

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1 

DẠNG 1: Giải phương trình lượng giác cơ bản 

Phương pháp giải:  

Áp dụng công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản. 

Bài 1. Giải các phương trình sau: 

a)sin⁡3 x=1/2 

=sin⁡〖π/6〗⇔[█(&3x=π/6+k2π@&3x=π-π/6+k2π)┤⇔[█(&x=π/18+k2π/3@&x=5π/18+k2π/3)┤,k∈Z 

b)cos⁡2 x=(-√2)/2 

⇔x=±3π/8+kπ (k∈Z) 

c)tan⁡( x+60^o)=-√3 

⇔ ├ x=120^o+k180^o  (k∈Z) 

1. d) cot(π/7-5x)=1/3

⇔x=-arccot⁡〖1/3〗/5+π/35+kπ/5(k∈Z) 

Bài 2. Giải phương trình 

Giải: 

"a) Vì "-√3/2=si n⁡(-π/3)" nên"  sin⁡x=-√3/2⇔sin⁡x=sin⁡(-π/3) 

Vậy phương trình có các nghiệm là 

[■(x=-π/3+k2π,k∈Z@□( ) x=π-(-π/3)+2kπ=4π/3+k2π,k∈Z.)┤ 

"b) Phương trình"  sin⁡x=1/4  "có các nghiệm là" 

[█(x=arcsin⁡〖1/4〗+2kπ,k∈Z@x=π-arcsin⁡〖1/4〗+2kπ,k∈Z)┤ 

"c) Ta có "  1/2=sin⁡〖30〗^∘ ", nên " sin⁡(x-〖60〗^∘ )=1/2⇔sin⁡(x-〖60〗^∘ )=sin⁡〖30〗^∘ 

■(&@⇔□( )&[■(x-〖60〗^∘=〖30〗^∘+k〖360〗^∘,k∈Z@x-〖60〗^∘=〖180〗^∘-〖30〗^∘+k〖360〗^∘,k∈Z)┤ ) 

"Vậy phương trình có các nghiệm là" [■(x=〖90〗^∘+k〖360〗^∘,k∈Z@" " x=〖210〗^∘+k〖360〗^∘,k∈Z.)┤ 

"d) Ta có " sin⁡2x=-1" (giá trị đặc biệt) " 

"Phương trình có nghiệm là"  

2x=3π/2+k2π,k∈Z 

"hay " □( ) x=3π/4+kπ,k∈Z 

Bài 3. Giải các phương trình: 

a)sin⁡2x=sin(3x+π/4) 

⇔[█(&2x=3x+π/4+k2π@&2x=π-(3x+π/4)+k2π)┤ 

⇔[█(&x=-π/4+k2π@&x=3π/20+k2π/5)┤(k∈Z 

1. b) tan (2x+π/3)=tan⁡(π/6-3x)

⇔x=(-π)/30+kπ/5(k∈Z) 

1. c) tan(x+π/4)=-cot(2x-π/3)

⇔tan(x+π/4)=cot(-2x+π/3) 

⇔tan(x+π/4)=tan[π/2-(-2x+π/3)] 

⇔tan(x+π/4)=tan(2x-π/6) 

⇔x=π/12-kπ,k∈Z 

Bài 4. Giải các phương trình 

a)〖sin〗^2⁡x=1/2 

⇔[█(&x=π/4+k2π@&x=3π/4+k2π)┤(k∈Z) 

b)〖sin〗^4⁡x+〖cos〗^4⁡x=1/2 

⇔〖(〖sin〗^2⁡x+〖cos〗^2⁡x)〗^2-2 〖sin〗^2⁡x  〖cos〗^2⁡x=1/2⇔〖sin〗^2⁡2 x=1⇔1-〖cos〗^2⁡2 x=1⇔〖cos〗^2⁡2 x=0⇔2x=π/2+k2π,(k∈Z) 

c)sin⁡x+cos⁡x=1 

⇔sin⁡x+cos⁡x=√2  sin⁡(├ x+π/4)=1┤⇔sin⁡(├ x+π/4)=┤  1/√2=sin⁡(π/4)⇔[█(&x=k2π@&x=π/2+k2π)┤(k∈Z) 

Bài 5. Giải các phương trình 

...