Giáo án Toán 11 kết nối Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV cho HS thực hiện HĐ1 để hiểu thế nào là hai phương trình tương đương.

+ GV chỉ định 1 HS nhắc lại cách để giải một phương trình?

+ HS làm bài, GV mời 1 HS lên bảng làm bài.

+ GV mời 1 HS khác nhận xét về tập nghiệm của hai phương trình trên bảng.

 GV Kết luận: “Những phương trình mà có cùng tập nghiệm, ví dụ như hai phương trình mà các em vừa giải đó chính là phương trình tương đương”.

+ GV mời 1 HS đọc phần khung kiến thức trọng tâm.

- Gv nhấn mạnh phần Chú ý cho HS nắm được kiến thức đặc biệt này.

- GV yêu cầu HS đọc – hiểu phần Ví dụ 1.

+ GV có thể chỉ định cho 1 HS nhắc lại hằng đẳng thức, và biến đổi thử phương trình thứ 2.

+ GV mời 1 HS trình bày cách thực hiện Ví dụ 1.

- GV đặt câu hỏi để HS làm phần Luyện tập 1:

+ Để giải phương trình có dạng phân thức, ta cần phải thực hiện những gì?

+ Nhắc lại hằng đẳng thức: Hiệu hai bình phương?

+ HS thực hiện nội dung câu hỏi.

+ GV mời 1 HS lên bảng làm bài và GV nhận xét bài làm của HS.

- GV đặt câu hỏi cho HS như sau:

+ Ta có hai biểu thức bằng nhau:

. Nếu nhân cả hai vế với một biểu thức  thì điều kiện có thay đổi hay không? Phương trình mới có tương đương với phương trình đã cho hay không?

+ Các em có thể rút ra kết luận gì từ câu hỏi trên?

+ GV mời 2 HS trả lời câu hỏi.

+ GV chuẩn hóa đáp án bằng cách nêu phần Chú ý.

 Thực chất đây là phần kiến thức trọng tâm. GV yêu cầu HS ghi bài cẩn thận vào vở.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm đôi, nhóm 4 theo yêu cầu, trả lời câu hỏi.

- GV quan sát hỗ trợ, hướng dẫn.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm

+ Khái niệm phương trình tương đương và cách viết hai phương trình tương đương.

1. Khái niệm phương trình tương đương

HĐ1

* Phương trình:

Vậy phương trình có tập nghiệm .

* Phương trình:

Vậy phương trình có tập nghiệm .

=> Nhận thấy cả hai phương trình đều có tập nghiệm .

Kết luận:

+ Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cugf tập nghiệm.

+ Nếu phương trình  tương đương với phương trình  thì ta viết:

Chú ý: Hai phương trình vô nghiệm là tương đương.

Ví dụ 1: (SGK – tr.31).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.31).

Luyện tập 1

* Phương trình:

+ ĐKXĐ: .

+ Ta có:  (thỏa mãn).

Vậy tập nghiệm của phương trình là: .

* Phương trình:

+ Ta có:

Vậy tập nghiệm phương trình là:

=> Ta nhận thấy hai phương trình này không phải phương trình tương đương.

Chú ý:

- Để giải phương trình, thông thường ta biến đổi phương trình đó thành một phương trình tương đương đơn giản hơn. Các phép biến đổi như vậy gọi là các phép biến đổi tương đương.

- Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều

kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho:

a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc một biểu thức:

b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0:

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV đặt câu hỏi, hướng dẫn HS thực hiện HĐ2 để nhận biết công thức nghiệm của phương trình .

+ Dựa vào đường tròn lượng giác hãy xác định các góc mà điểm M và M’ biểu diễn? Sau đó tính sin của các góc vừa tìm được.

+ Nhắc lại chu kỳ tuần hoàn của hàm sin? Từ đó sẽ viết được công thức nghiệm của phương trình.

+ HS trả lời câu hỏi để vận dụng vào HĐ2, HS suy nghĩ và làm bài.

+ GV mời 2 HS lên bảng trình bày câu trả lời.

+ GV nhận xét và chốt đáp án.

- GV vẽ đường tròn lượng giác và đồ thị hàm sin lên bảng và yêu cầu HS vẽ vào vở.

- GV yêu cầu HS chỉ ra trên đường tròn lượng giác các nghiệm của phương trình  trong đoạn .

+ GV: Các em cần xét 2 trường hợp với giá trị tuyệt đối của m, tức:  và .

 GV diễn giải và chốt đáp án cho HS và yêu cầu HS ghi chép cẩn thận vào trong vở.

- GV yêu cầu HS chỉ ra các giao điểm của đường thẳng  và đồ thị hàm sin; đặc biệt chỉ ra hoành độ của các giao điểm này.Từ đó yêu cầu HS viết công thức nghiệm.

- GV trình bày khung kiến thức trọng tâm lên bảng cho HS quan sát và ghi vào vở.

- GV vẽ đường tròn lượng giác lên bảng và đặt câu hỏi cho HS thảo luận để dẫn đến phần Chú ý:

 Các em hãy áp dụng công thức  và đường tròn lượng giác để giải phương trình đặc biệt sau:

+

+

+

+ GV mời 3 HS đứng tại chỗ cùng mình thực hiện và nêu đáp án cho các HS khác lắng nghe và quan sát.

+ HS ghi bài vào vở.

- GV hướng dẫn cho HS làm Ví dụ 2

+ GV: Các em cần thuộc được và áp dụng được giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, hoặc có thể sử dụng MTCT để chuyển đổi các góc.

+ Ta thấy:

a)  

b) áp dụng công thức nghiệm để tính.

+ HS suy nghĩ và làm bài vào vở.

+ GV đi kiểm tra ngẫu nhiên một số HS.

- GV viết công thức nghiệm lên bảng và yêu cầu HS chép bài cẩn thận và học thuộc công thức nghiệm.

- GV yêu cầu 1 HS trình bày lại công thức nghiệm nếu số đo góc của  đực tính bằng độ.

+ GV cho HS đọc – hiểu Ví dụ 3 sau đó trình bày lại câu trả lời. Từ đó áp dụng làm một bài tập mở rộng sau:

+ Giải phương trình:

+ GV hướng dẫn: “Đối với bài này, các em cần sử dụng công thức nhân đôi, biến đổi  về giá trị của ”.

+ GV cho HS suy nghĩ và mời 1 HS lên bảng làm bài.

+ GV nhận xét bài làm của HS và chốt đáp án.

- GV trình bày lời giải lên bảng và giảng giải cặn kẽ cho HS Ví dụ 4.

- GV cho HS thảo luận nhóm đôi về phần Luyện tập 2.

+ HS tự suy nghĩ, áp dụng công thức nghiệm để hoàn thành được bài tập.

+ GV chỉ định 1 cặp đôi HS lên bảng làm bài.

+ Các HS khác nhận xét bài làm của bạn.

+ GV chốt đáp án cho HS.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm đôi, nhóm 4 theo yêu cầu, trả lời câu hỏi.

- GV quan sát hỗ trợ, hướng dẫn.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm

+ Công thức nghiệm của phương trình và một số trường hợp đặc biệt của phương trình .

1. Phương trình

a) Từ Hình 1.19, nhận thấy hai điểm  lần lượt biểu diễn các góc  và , lại có tung độ của điểm M và M' đều bằng  nên theo định nghĩa gái trị lượng giác, ta có  và .

Vậy trong nửa khoảng , phương trình  có 2 nghiệm là  và .

b) Vì hàm số sin có chu kì tuần hoàn là  nên phương trình đã cho có công thức nghiệm là:  và .

Tổng quát, xét phương trình  (*)

+ Nếu  thì phương trình (*) vô nghiệm vì  với mọi .

+ Nếu  thì tồn tại duy nhất  thỏa mãn . Khi đó, trên đoạn có độ dài là  là , phương trình (*) có các nghiệm  và .

Do tính tuần hoàn với chu kì  của hàm sin, ta chỉ cần cộng vào các nghiệm này các bội nguyên của  thì sẽ được tất cả các nghiệm của phương trình (*).

Kết luận

+ Phương trình  có nghiệm khi và chỉ khi .

+ Khi , sẽ tồn tại duy nhất  thỏa mãn . Khi đó  

Chú ý

a) Nếu số đo của góc  được cho bằng đơn vị độ thì:

).

b) Một số trường hợp đặc biệt:

+ .

+ .

+ .

Ví dụ 2: (SGK – tr.33).

Hướng dẫn giải  (SGK – tr.33).

Ví dụ 3: (SGK – tr.33).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.33).

Bài tập mở rộng:

Ví dụ 4: (SGK – tr.34).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.34).

Luyện tập 2.

a)

Vậy phương trình  có các nghiệm là  và .

b)

  .

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là  và