Giáo án powerpoint dạy thêm Toán 11 kết nối Bài 5: Dãy số

CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN VỚI TIẾT HỌC  
MÔN TOÁN! 

KHỞI ĐỘNG 

• Hãy cho ví dụ về một dãy số bằng hệ thức truy hồi.
• Cho dãy số (u_n ) với u_n=1/n,∀n∈N^∗

Dãy số là dãy tăng hay giảm, dãy có bị chặn không? 

CHƯƠNG II:  

DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN 

BÀI 5: DÃY SỐ 

HỆ THỐNG  

KIẾN THỨC 

1. Định nghĩa dãy số

• Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N^∗ được gọi là một dãy số vô hạn, kí hiệu là u=u(n).
• Dạng khai triển: u_1,u_2,…,u_n,…

     Số u_1 gọi là số hạng đầu, u_n là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số. 

Ví dụ: dãy các số tự nhiên chia hết cho 3. 

Chú ý:  (u­n) là dãy số không đổi: ∀n∈N^∗, u_n=c. 

• Mỗi hàm số u xác định trên tâp M={1;2;3;…,m} với m∈N^∗ được gọi là một dãy số hữu hạn.
• Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là u_1,u_2,…,u_m.

     Số u_1 gọi là số hạng đầu, số u_m gọi là số hạng cuối.  

Ví dụ: dãy các số tự nhiên chia hết cho 3 nhỏ hơn 30. 

2. Các cách cho một dãy số

-Liệt kê các số hạng (chỉ dùng cho các dãy hữu hạn và có ít số hạng) 

-Công thức của số hạng tổng quát 

-Phương pháp mô tả 

-Phương pháp truy hồi 

3. Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn

• Dãy số (u_n ) được gọi là dãy số tăng nếu ta có u_(n+1)>u_n với mọi n∈N^∗.

Ví dụ: Dãy số u_n=3n+9 là dãy số tăng. 

• Dãy số (u_n ) được gọi là dãy số giảm nếu ta có u_(n+1)<u_n với mọi n∈N^∗.

Ví dụ: Dãy số u_n=-3n+2 là dãy số giảm. 

• Dãy số (u_n ) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho u_n≤M với mọi n∈N^∗.
• Dãy số (u_n ) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho u_n≥m với mọi n∈N^∗.
• Dãy số (u_n ) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m,M sao cho m≤u_n≤M với mọi n∈N^∗.

Ví dụ: Dãy số u_n=cos⁡2n  là dãy bị chặn. 

LUYỆN TẬP 

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1 

DẠNG 1: Xác định số hạng của dãy số 

Phương pháp giải:  

-Dựa vào số hạng tổng quát, hoặc tính chất của dãy để tìm các số hạng theo yêu cầu đề bài. 

-Dựa vào đặc điểm của các số hạng để tìm số hạng tổng quát. 

Bài 1. Viết 5 số hạng đầu tiên của dãy số sau: 

"a) " u_n=(2n-1)/(n+1) "                                    b)" {█(u_1=u_2=1@u_n=u_(n-1)+u_(n-2) )┤(n>2) 

→1/2;1;5/4;7/6;3/2 

→1;1;2;3;5 

Bài 2. Dự đoán số hạn tổng quát của các dãy số sau: 

1. a) (u_n):1;2;4;8;16;...

"b)" (u_n):(-1)/2;1/3;(-1)/4;1/5;... 

1. c) (u_n){█(u_1=3@u_(n+1)=2u_n )┤(n≥1)

Vì: u_1=3;u_2=2.3; u_3=2u_2=2.2.3=2^2.3; u_4=2u_3=2.2^2.3=2^3.3 
...u_n=2^(n-1).3 

"Bài 3. a) Cho dãy số " (y_n )" xác định bởi" y_n=(2^n-1)/(2^n+1) (n∈N^∗ )." Xác định năm số hạng đầu của" 

dãy số (y_n ). 

1. b) Cho dãy số (y_n ) xác định bởi y_1=y_2=1 và y_(n+2)=y_(n+1)+y_n,∀n∈N^∗. Viết năm số hạng đầu của dãy số.
2. c) Tìm năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của dãy số cho bởi công thức sau: u_n=-3n.

Giải: 

"a)"  1/3, 3/5, 7/9, 15/17, 31/33 

1. b) 1, 1, 2, 3, 5
2. c) Năm số hạng đầu là: -3; -6; -9; -12; -15

Số hạng thứ 100 của dãy số là: u_100=-3.100=-300. 

"Bài 4. a) Cho dãy số " (u_n )" có " u_n=(n+1)/(2n+1) ". Số"  13/25 " là số hạng thứ bao nhiêu của" 

dãy số (u_n ) . 

1. b) Cho dãy số (a_n ) có a_n=-n^2+4n+11,∀n∈N^∗. Số (-10) là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số (a_n )?

Giải: 

"a) Giải phương trình "  (n+1)/(2n+1)=13/25 " ta được " n=12." Vậy"  13/25 " là số hạng thứ" 12. 

7. b) Giải phương trình -n^2+4n+11=-10⇒n=7. Vậy -10 là số hạng thứ 7.

Bài 5. Cho dãy số (a_n ) xác định bởi a_1=-3 và a_(n+1)=a_n+n^2-3n+4,∀n∈N^∗. Số 1391 là số hạng thứ mấy của dãy số đã cho? 

Giải: 

Từ hệ thức truy hồi của dãy số (a_n ) ta có: 

a_n=a_1+[1^2+2^2+...+(n-1)^2 ]-3[1+2+...+(n-1)]+4(n-1) 

⇔a_n=(n^3-6n^2+17n-21)/3 

"Suy ra số hạng tổng quát của dãy số " (a_n )" là" a_n=(n^3-6n^2+17n-21)/3 

Giải phương trình a_n=1391 ta được n=18. 

"Bài 6. Cho dãy số "(u_n)" thỏa mãn " u_1=1/2;u_(n+1)=u_n/(2(n+1)u_n+1),n≥1." " 

"Tìm " n" có giá trị nguyên dương lớn nhất để " S_n=u_1+u_2+...+u_n<2017/2018 " ." 

Giải: 

Dễ chứng minh được u_n>0,∀n≥1 

"Từ hệ thức truy hồi của dãy số, ta có"  1/u_(n+1) =1/u_n +2n+2,∀n≥1 

"Suy ra"  1/u_n =1/u_1 +2(1+2+..+n-1)+2(n-1) 

⇔1/u_n =2+n(n-1)+2(n-1)=n^2+n⇒u_n=1/(n(n+1)) 

"Do đó" u_n=1/n-1/(n+1),∀n≥1". Vậy" S_n=u_1+u_2+...+u_n=1-1/(n+1)=n/(n+1) 

"Vì " S_n<2017/2018 " nên"  n/(n+1)<2017/2018⇒n<2017 

"Suy ra số nguyên dương lớn nhất để " S_n<2017/2018 " là" n=2016. 

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2 

DẠNG 2: Xét tính tăng, giảm của dãy số 

Phương pháp giải:  

- Cách 1: Dùng định nghĩa, bằng cách xét hiệu u_(n+1)-u_n. 

"- Cách 2: Nếu " u_n>0", mọi " n∈N^∗ " thì tính" T=u_(n+1)/u_n . 

Bài 1.  

1. a) Chứng minh dãy số (x_n ) với x_n=n^2-2n+3 là một dãy số tăng.

Giải: 

Ta có x_(n+1)=(n+1)^2-2(n+1)+3=n^2+2 

Suy ra  x_(n+1)-x_n=(n^2+2)-(n^2-2n+3)=2n-1>0,∀n≥1  

     hay x_(n+1)>x_n,∀n≥1 

Vậy (x_n ) là một dãy số tăng. 

"b) Chứng minh dãy số " (y_n )" với" y_n=(n+2)/5^n  " là một dãy số giảm." 

Giải: 

"Cách 1: Ta có" y_(n+1)=(n+3)/5^(n+1)  

"Suy ra " y_(n+1)-y_n=(n+3)/5^(n+1) -(n+2)/5^n =-(4n+7)/5^(n+1) <0,∀n≥1" hay" y_(n+1)<y_n,∀n≥1 

Vậy (y_n ) là một dãy số giảm. 

"Cách 2: Với "∀n∈N^∗ ", ta có " y_n>0" nên ta xét tỉ số"  y_(n+1)/y_n  

"Ta có " y_(n+1)=(n+3)/5^(n+1)  " nên"  y_(n+1)/y_n =(n+3)/5(n+2) <1,∀n≥1 

Vậy (y_n ) là một dãy số giảm. 

1. c) Xét tính tăng giảm của dãy số (z_n ) với z_n=(-1)^n.

Giải: 

Dãy số (z_n ) với z_n=(-1)^n không phải là một dãy số tăng cũng không phải là một dãy số giảm 

vì z_(n+1)-z_n=(-1)^(n+1)-(-1)^n=-2(-1)^n không xác định được dương hay âm 

Đây là dãy số đan dấu. 

Bài 2. Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:  

1. a) Dãy (a_n ), với a_n=(-1)^(n+1).sin⁡〖π/n〗,∀n∈N^∗.
2. b) Dãy (b_n ), với b_n=(-1)^2n.(5^n+1),∀n∈N^∗.
3. c) Dãy (c_n ), với c_n=1/n,∀n∈N^∗.

Giải: 

1. a) Dãy số (a_n) là dãy đan dấu nên không phải là dãy số tăng cũng không phải là dãy số giảm.
2. b) Ta có b_n=5^n+1 (do (-1)^2n=1)

Vì b_(n+1)=5^(n+1)+1=5.5^n+1>b_n,∀n≥1 nên (b_n) là một dãy số tăng. 

1. c) Ta có c_(n+1)=1/(n+1)<1/n=c_n,∀n∈N∗. Vậy (c_n) là một dãy số giảm.

Bài 3. Xét tính tăng giảm của dãy số sau 

"a) Dãy " (c_n )", với" c_n=1/(n+√(n+1)),∀n∈N^∗ 

...