Giáo án và PPT Toán 11 kết nối Bài 5: Dãy số

CHƯƠNG II. DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

BÀI 5. DÃY SỐ

HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

GV yêu cầu HS đọc tình huống mở đầu và trả lời câu hỏi:

Năm 2020, số dân của một thành phố trực thuộc tỉnh là khoảng 500 nghìn người. Người ta ước tính rằng số dân của thành phố đó sẽ tăng trưởng với tốc độ khoảng 2% mỗi năm. Khi đó số dân P_n (nghìn người) của thành phố đó sau n năm, kể từ năm 2020, được tính bằng công thức P_n = 500(1 + 0,02)ⁿ. Hỏi nếu tăng trưởng theo quy luật như vậy thì vào năm 2030, số dân của thành phố đó là khoảng bao nhiêu nghìn người?

HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

1. DÃY SỐ VÔ HẠN

Hoạt động 1:

GV cho học sinh thảo luận, thực hiện hoạt động 1 và yêu cầu học sinh nhắc lại thế nào là số chính phương.

Sản phẩm dự kiến:

Năm số chính phương đầu theo thứ tự tăng dần là: .

Số chính phương thứ nhất là

Số chính phương thứ hai là

Số chính phương thứ ba là

Số chính phương thứ tư là

Số chính phương thứ năm là

Tiếp tục như trên, ta dự đoán được công thức tính số chính phương thứ n là với

Kết luận:

+ Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số), kí hiệu là .

+ Ta thường viết thay cho u(n) và ký hiệu dãy số bởi , do đó dãy số được viết dưới dạng khai triển ... Số gọi là số hạng đầu, là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.

Chú ý

Nếu thì được gọi là dãy số không đổi.

Ví dụ 1: (SGK – tr.43).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.43).

2. Dãy số hữu hạn

Hoạt động 2.

GV cho học sinh thảo luận và thực hiện hoạt động 2 

Sản phẩm dự kiến:

a) Các số chính phương nhỏ hơn 50 được sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn là

.

b) Ta có: với và n ≤ 8.

Kết luận:

+ Mỗi hàm số u xác định trên tập với được gọi là một dãy số hữu hạn.

+ Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là . Số gọi là số hạng đầu, số gọi là số hạng cuối.

Ví dụ 2: (SGK – tr.43).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.43).

Luyện tập 1.

a) Xét số tự nhiên a khác 0, ta có a chia cho 5 dư 1, khi đó tồn tại số tự nhiên q khác 0 để .

Xét dãy số gồm tất cả các số tự nhiên chia cho 5 dư 1 theo thứ tự tăng dần. Khi đó, số hạng tổng quát của dãy số là

b) Dãy gồm năm số hạng đầu của dãy số trong câu a là:

Số hạng đầu của dãy là , số hạng cuối của dãy là .

2. CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ

Hoạt động 3:

GV cho học sinh thảo luận, thực hiện hoạt động 3 và đưa ra câu hỏi: “thế nào là số nguyên tố”.

Sản phẩm dự kiến:

a) Số hạng tổng quát của dãy số là

b) Số hạng đầu của dãy số là .

Công thức tính số hạng thứ n theo số hạng thứ

Kết luận:

Một dãy số có thể cho bằng:

+ Liệt kê các số hạng (chỉ dùng cho các dãy hữu hạn và có ít số hạng).

+ Công thức của số hạng tổng quát.

+ Phương pháp mô tả.

+ Phương pháp truy hồi.

Ví dụ 3: (SGK – tr.44)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.44).

Ví dụ 4: (SGK – tr.44).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.44).

- Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 mà chỉ có hai ước số là 1 và chính nó.

Chú ý:

Dãy số gồm tất cả các số nguyên tố ở Ví dụ 4 được cho bởi phương pháp mô tả (số hạng thứ n là số nguyên tố thứ n). Cho đến nay người ta vẫn chưa biết có hay không một công thức tính số nguyên tố thứ n theo n (với n bất kì), hoặc là một hệ thức tính số nguyên tố thứ n theo vào số nguyên tố đứng trước nó.

- Hệ thức truy hồi là hệ thức biểu thị số hạng thứ n của dãy số qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó.

Ví dụ 5: (SGK – tr.44).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.44).

Ví dụ 6: (SGK – tr.44).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.44).

Luyện tập 2

a) Năm số hạng đầu của dãy số với số hạng tổng quát là

b) Năm số hạng đầu của dãy số Fibonacci là

Chú ý

Để có hình ảnh trực quan về dãy số, ta thường biểu diễn các số hạng của nó trên trục số. Chẳng hạn, xét dãy số với . Năm số hạng đầu tiên của dãy số này là: 

và được biểu diễn trên trục số như trên.

3. NHẬN BIẾT DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM

Hoạt động 4.

GV cho học sinh thảo luận và thực hiện hoạt động 4 

Sản phẩm dự kiến:

a) Ta có: 

Xét hiệu ta có: , tức là .

Vậy

b) Ta có: .

Xét hiệu ta có: 

ℕ^* 

Tức là

Vậy .

Kết luận:

+ Dãy số được gọi là dãy số tăng nếu ta có: với mọi ℕ^*.

+ Dãy số được gọi là dãy số giảm nếu ta có với mọi ℕ^*.

Ví dụ 7: (SGK – tr.45).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.45).

Luyện tập 3

Ta có:

Tức là

Vậy là dãy số giảm.

2. Nhận biết dãy số bị chặn

Hoạt động 5.

GV cho học sinh thảo luận và thực hiện hoạt động 5 

Sản phẩm dự kiến:

a) Ta có:

b) Ta có:  

suy ra  

Do đó, . 

Kết luận

+ Dãy số được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho với .

+ Dãy số được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho

+ Dãy số được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m. M sao cho , .

Ví dụ 8: (SGK – tr45).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.46). 

Câu hỏi phụ

Ta có:

Suy ra

Vậy dãy số bị chặn.

Luyện tập 4

Ta có: u_n = 2n – 1 ≥ 1, ∀ n ∈ ℕ^*.

Do đó, dãy số (u_n) bị chặn dưới.

Dãy số (u_n) không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa mãn:

= 2n – 1 ≤ M với mọi n ^*.

Vậy dãy số bị chặn dưới và không bị chặn trên nên không bị chặn.

Vận dụng

a) Ta có: 

Vậy lương của anh Thanh vào năm thứ 5 làm việc cho công ty là 300 triệu đồng.

b) Ta có: 

với mọi

Tức là

Vậy là dãy số tăng. Điều này có nghĩa là mức lương hàng năm của anh Thanh tăng dần theo thời gian làm việc

HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Từ nội dung bài học, GV yêu cầu HS hoàn thành các bài tập trắc nghiệm sau:

Câu 1: Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: −1,3,19,53. Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm.

 A. u10=97               

B. u10=71                

C. u10=1414             

D. u10=971

Câu 2: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 5;10;15;20;25;...Số hạng tổng quát của dãy số này là:

A. un=5(n−1)

B. un=5n

C. un=5+n

D. un=5.n+1

Câu 3: Cho dãy số có các số hạng đầu là:8,15,22,29,36,....Số hạng tổng quát của dãy số này là:

A. un=7n+7

B. un=7.n

C. un=7.n+1

D. unun : Không viết được dưới dạng công thức

Câu 4: Cho dãy số có các số hạng đầu là: −2;0;2;4;6;.... Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng?

A. un=−2n

B. un=(−2)+n

C. un=(−2)(n+1)

D. un=(−2)+2(n−1)

 Câu 5 Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un)(un), biết: un=

A. Dãy số tăng, bị chặn

B. Dãy số giảm, bị chặn

C. Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn

 Sản phẩm dự kiến:

HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG

Vận dụng kiến thức, GV yêu cầu HS trả lời câu hỏi:

Câu 1: Viết năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của các dãy số (u_n) có số hạng tổng quát cho bởi: u_n = 3n – 2;

Câu 2: Ông An gửi tiết kiệm 100 triệu đồng kì hạn 1 tháng với lãi suất 6% một năm theo hình thức tính lãi kép. Số tiền (triệu đồng) của ông An thu được sau n tháng được cho bởi công thức

a) Tìm số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất, sau tháng thứ hai.

b) Tìm số tiền ông An nhận được sau 1 năm.