Giáo án và PPT Toán 11 kết nối Bài 6: Cấp số cộng

CHƯƠNG II. DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

BÀI 6: CẤP SỐ CỘNG

HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

GV yêu cầu HS đọc tình huống mở đầu và trả lời câu hỏi:

Một nhà hát có 25 hàng ghế với 16 ghế ở hàng thứ nhất, 18 ghế ở hàng thứ hai, 20 ghế ở hàng thứ 3 và cứ tiếp tục theo quy luật đó, tức là hàng sau nhiều hơn hàng liền trước nó 2 ghế. Tính tổng số ghế của nhà hát đó.

HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

1. ĐỊNH NGHĨA

Hoạt động 1:

GV cho học sinh thảo luận và thực hiện hoạt động 1.

Sản phẩm dự kiến:

a) Năm số hạng đầu của dãy số là năm số tự nhiên lẻ đầu tiên và đó là: .

b) Nhận thấy trong dãy số (u_n), số hạng sau hơn số hạng liền trước 2 đơn vị.

Do đó, ta dự đoán công thức biểu diễn số hạng theo số hạng u_{n – 1} là là

Kết luận:

+ Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng trước nó cộng với một số không đổi d. Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

+ Cấp số cộng với công sai d được cho bởi hệ thức truy hồi:

với .

Câu hỏi

Dãy số không đổi là một cấp số cộng với công sai .

=> Đây là một dãy số hằng.

Ví dụ 1: (SGK – tr.48)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.48).

Ví dụ 2: (SGK – tr.49).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.49).

Luyện tập 1

Ta có:

Do đó, với mọi

Vậy dãy số (u_n) là cấp số cộng có số hạng đầu là và công sai

2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

Hoạt động 2

GV cho học sinh thảo luận và thực hiện hoạt động 2.

Sản phẩm dự kiến:

a) Ta có:

.

b)Từ câu a, ta dự đoán công thức tính số hạng tổng quát theo và là:

Kết luận:

Nếu cấp số cộng có số hạng đầu và công sai d thì số hạng tổng quát của nó được xác định theo công thức:

.

Ví dụ 3: (SGK – tr.49).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.49).

Ví dụ 4: (SGK - tr.49).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.49).

Luyện tập 2.

Ta có: 

, 

với mọi .

Do đó, dãy số là một cấp số cộng với số hạng đầu và công sai

Số hạng tổng quát là:

3. TỔNG N SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG

Hoạt động 3

GV cho học sinh thảo luận và thực hiện hoạt động 3.

Sản phẩm dự kiến:

a) Ta có:  

b)

c) Ta có:

Kết luận

Cho cấp số cộng với công sai d. Đặt . Khi đó

.

Chú ý:

Sử dụng công thức , ta có thể viết tổng dưới dạng:

.

Ví dụ 5: (SGK – tr.50).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.50).

Ví dụ 6: (SGK – tr. 50).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.50).

Vận dụng

Số tiền lương anh Nam nhận được mỗi năm lập thành một cấp số cộng, gồm 10 số hạng, với số hạng đầu u₁ = 100 và công sai d = 20.

Tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng này là

Vậy số tiền lương mà anh Nam nhận được sau 10 năm làm việc ở công ty này là 1 900 triệu đồng hay 1 tỷ 900 triệu đồng.

HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Từ nội dung bài học, GV yêu cầu HS hoàn thành các bài tập trắc nghiệm sau:

Câu 1: Cho một cấp số cộng có u1=−3;u6=27. Tìm d ?

A. d=5d=5.

B. d=7d=7.

C. d=6d=6.

D. d=8d=8.

Câu 2: Cho cấp số cộng (un)un có: u1=−0,1;d=0,1. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là:

A. 1,6

B. 6

C. 0,5

D. 0,6

Câu 3: Cho tam giác ABC biết 3 góc của tam giác lập thành một cấp số cộng và có một góc bằng 25^o. Tìm 2 góc còn lại?

A. 65^o ; 90^o.

B. 75^o ; 80^o.

C. 60^o ; 95^o.

D. 60^o ; 90^o.

Câu 4: Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. a²+c²=2ab+2bca

B. a²−c²=2ab−2bc

C. a²+c²=2ab−2bc

D. a²−c²=ab−bc

Câu 5: Xác định m để phương trình x³−3x²−9x+m=0 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

A. m=16

B.  m=11

C.  m=13

D.  m=12

 Sản phẩm dự kiến:

HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG

Vận dụng kiến thức, GV yêu cầu HS trả lời câu hỏi:

Câu 1: Một cấp số cộng có số hạng đầu bằng 5 và công sai bằng 2. Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để có tổng bằng 2 700?

Câu 2: Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường với 15 ghế ngồi ở hàng thứ nhất, 18 ghế ngồi ở hàng thứ hai, 21 ghế ngồi ở hàng thứ ba, và cứ như vậy (số ghế ở hàng sau nhiều hơn 3 ghế so với số ghế ở hàng liền kề trước nó). Nếu muốn hội trường đó có sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì kiến trúc sư đó phải thiết kế tối thiểu bao nhiêu hàng ghế?