Giáo án và PPT Toán 11 kết nối Bài 2: Công thức lượng giác

CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

BÀI 2. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

GV yêu cầu HS đọc tình huống mở đầu và trả lời câu hỏi:

Một thiết bị trễ kĩ thuật số lặp lại tín hiệu đầu vào bằng cách lặp lại tín hiệu đó trong một khoảng thời gian cố định sau khi nhận được tín hiệu. Nếu một thiết bị như vậy nhận được nốt thuần f₁(t) = 5sin t và phát lại được nốt thuần f₂(t) = 5cos t thì âm kết hợp là f(t) = f₁(t) + f₂(t), trong đó t là biến thời gian. Chứng tỏ rằng âm kết hợp viết được dưới dạng f(t) = ksin (t + φ), tức là âm kết  hợp là một sóng âm hình sin. Hãy xác định biên độ âm k và pha ban đầu φ (– π ≤ φ ≤ π) của sóng âm.

HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

1. CÔNG THỨC CỘNG

Hoạt động 1:

GV cho học sinh thảo luận và thực hiện hoạt động 1.

Sản phẩm dự kiến:

a) Ta có: nên 

.

Vậy 

.

b) Ta có:

Mà 

(hai góc đối nhau).

Do đó, 

. 

c) Ta có: 

(do

). 

Vậy sin(a – b) = sin a cos b – cos a sin b.

Công thức:

(giả thiết các biểu thức đều có nghĩa).

Ví dụ 1: (SGK – tr.17).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.18).

Ví dụ 2: (SGK – tr.18).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.18).

Luyện tập 1:

a) Ta có: 

(đpcm).

b) Ta có: 

(do ).

Vận dụng 1:

Ta có:

Theo Ví dụ 2 trang 18 SGK Toán lớp 11 Tập 1, ta chứng minh được:

Do đó,

Vậy âm kết hợp viết được dưới dạng trong đó biên độ âm và pha ban đầu của sóng âm là .

2. CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI

Hoạt động 2:

GV cho học sinh thảo luận thực hiện hoạt động 2 và xây dựng công thức nhân đôi

Sản phẩm dự kiến:

+)

+)

Mà , 

suy ra

Do đó,  

.

+)  

=  

Công thức nhân đôi

.

Ví dụ 3: (SGK – tr.18).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.18).

Công thức hạ bậc

Luyện tập 2

Ta có:

Suy ra . Do đó:

Vì nên suy ra .

Vì nên suy ra .

3. CÔNG THỨC BIỂN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG

Hoạt động 3:

GV cho học sinh thảo luận thực hiện hoạt động 3 để hình thành công thức biến đổi tích thành tổng.

Sản phẩm dự kiến:

a) Ta có: 

 (1);

(2).

Lấy (1) và (2) cộng vế theo vế, ta được: .

Từ đó suy ra:

Lấy (2) trừ vế theo vế cho (1), ta được: .

Từ đó suy ra:

b) Ta có: 

Lấy (3) và (4) cộng vế theo vế, ta được: .

Từ đó suy ra:

Công thức biến đổi tích thành tổng

Ví dụ 4: (SGK – tr.19).

Hướng dẫn giải: (SGK – tr.19).

Luyện tập 3:

Ta có:

.

4. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH

Hoạt động 4:

GV cho học sinh thảo luận thực hiện hoạt động 4 và xây dựng công thức biến đổi tích thành tổng.

Sản phẩm dự kiến:

(1) 

(2)

(3)

Đặt .

Ta có:

Và

Suy ra,

Khi đó:

+ (1) trở thành:

⇔ (do ).

+) (2) trở thành:

⇔

(do ).

+) (3) trở thành:

⇔ .

Công thức biến đổi tổng thành tích

Ví dụ 5: (SGK – tr.20).

Hướng dẫn giải: (SGK – tr.20).

Câu hỏi:

a)

=  

=

b)

=  

=

Luyện tập 4:

Ta có:

Vận dụng 2:

a) Quan sát Hình 1.13, ta nhận thấy khi nhấn phím 4, âm thanh được tạo ra có tần số thấp và tần số cao

Khi đó, hàm số mô hình hóa âm thanh được tạo ra khi nhấn phím 4 là:

:

b) Ta có:

Vậy ta có hàm số:

HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Từ nội dung bài học, GV yêu cầu HS hoàn thành các bài tập trắc nghiệm sau:

Câu 1: Khẳng định nào sau đây đúng?

A. sin(2018a) = 2018sina.cosa.

B. sin(2018a) = 2018sin(1009a).cos(1009a).

C. sin(2018a) = 2sinacosa.

D. sin(2018a) = 2sin(1009a).cos(1009a).

Câu 2: Công thức nào sau đây đúng?

A. cos3a = 3cosa - 4cos³a.   B. cos3a = 4cos³a - 3cosa.

C. cos3a = 3cos³a - 4cosa.   D. cos3a = 4cosa - 3cos³a.

Câu 3: Trong ∆ABC, nếu = 2cosA thì ∆ABC là tam giác có tính chất nào sau đây?

A. Cân tại B.   B. Cân tại A.   C. Cân tại C.   D. Vuông tại B.

Câu 4: Nếu α + β + γ = và cotα + cotγ = 2cotβ thì cotα.cotγ bằng

A. √3.   B. - √3 .   C. 3.   D. -3.

 Câu 5: Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?

A.  

B.

C. sinx=2sincos.   

D. cos3x=cos³x−sin³x.

 Sản phẩm dự kiến:

HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG

Vận dụng kiến thức, GV yêu cầu HS trả lời câu hỏi:

Câu 1: Sử dụng 15° = 45° – 30°, hãy tính các giá trị lượng giác của góc 15°.

Câu 2: Khi nhấn một phím trên điện thoại cảm ứng, bàn phím sẽ tạo ra hai âm thuần, kết hợp với nhau để tạo ra âm thanh nhận dạng duy nhất phím. Hình 1.13 cho thấy tần số thấp f₁ và tần số cao f₂ liên quan đến mỗi phím. Nhấn một phím sẽ tạo ra sóng âm y = sin(2πf₁t) + sin(2πf₂t), ở đó t là biến thời gian (tính bằng giây).