Giáo án và PPT Toán 11 kết nối Bài 23: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

BÀI 23. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG (3 TIẾT)

HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

- GV yêu cầu HS đọc tình huống mở đầu:

Hầu hết các công trình kiến trúc đều được xây dựng theo phương thẳng đứng để có thể vững chãi, mặc dù vậy, cũng có những công trình có phương nghiêng.

Nếu đứng tại Quảng trường màu nhiệm ở Pisa bằng mắt thường, ta có thể cảm nhận rằng tháp ngoài cùng bên phải trong hình là nghiêng và các công trình còn lại đều thẳng đứng.

HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

Hoạt động 1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

- GV yêu cầu HS thảo luận thực hiện HĐ 1.

+ Trong quá trình đóng – mở cánh cửa, đường thẳng AB (đi qua hai bản lề) có thay đổi hay không?

+ Trong quá trình đóng – mở cánh cửa, đường thẳng BC thay đổi như thế nào và góc giữa BC và AB bằng bao nhiêu?

- GV đặt câu hỏi: Em hãy phát biểu định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

- HS suy nghĩ trả lời Câu hỏi (SGK). Nếu mà không cắt (P) thì có thể có vị trí gì so với (P)? Điều đó có trái với giả thiết không.

- HS thực hiện HĐ 2, trả lời câu hỏi a, thực hành làm mô hình như câu b.

- GV đặt câu hỏi: Em hãy phát biểu định lí chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

- HS trả lời Câu hỏi (SGK)

- GV cho HS đọc, và hướng dẫn cách làm Ví dụ 1.

- HS thực hiện làm Luyện tập 1: Dựa vào tính chất hình bình hành và SA = SC, SB = SD; chỉ ra SO vuông góc với đường thẳng nào?

- HS suy nghĩ trả lời Vận dụng.

Sản phẩm dự kiến:

HĐ 1:

a) Trong quá trình đóng - mở cánh cửa:

+ Đường thẳng cố định vì luôn đi qua hai bản lề cố định, 

+ Đường thẳng trên mặt sàn và luôn đi qua điểm cố định (là giao của đường thẳng và mặt sàn). 

- Vì đường thẳng quay quanh điểm và nên vuông góc với các đường thẳng trên mặt sàn và đi qua .

b) Lấy đường thẳng bất kì trên mặt sàn. Xét là đường thẳng trên mặt sàn, đi qua và song song với . Khi đó .

Kết luận:

Đường thẳng được gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong

Chú ý:

Khi vuông góc với , ta còn nói vuông góc với hoặc và vuông góc với nhau, kí hiệu

Câu hỏi:

và (P) cắt nhau.

Vì nếu trái lại thì song song hoặc nằm trên , 

Khi đó, tồn tại đường thẳng  

// 

Do đó, , mâu thuẫn với giả thiết .

HĐ 2:

a) Vì là các hình chữ nhật nên

b) 

Đặt ê ke như mô tả trong hình vẽ. Ta thấy một cạnh của ê ke trùng với AB và một cạnh thuộc a nên AB vuông góc với a.

Kết luận

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.

Câu hỏi:

Vì đường thẳng vuông góc với hai cạnh của tam giác nên vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác. Nên đường thẳng vuông góc với cạnh thứ ba.

Ví dụ 1 (SGK -tr.32)

Luyện tập 1

Vì và là giao điểm của hai đường chéo AC, BD nên là trung điểm của

Vận dụng

Vì cột treo vuông góc với hai thanh đế  (cắt nhau) nên cột vuông góc với sàn nhà (chứa hai thanh đế).

Hoạt động 2. Tính chất

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐ 3. 

- GV đặt câu hỏi để dẫn đến Nhận xét:

+ Theo đề bài thì có các mặt phẳng nào đi qua O và vuông góc với ?

+ Các mặt phẳng kể trên có trùng nhau không? Vì sao?

+ Em hãy phát biểu định lý về tính chất của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

- HS đọc Ví dụ 2

- HS thực hiện HĐ 4.

- HS thực hiện Luyện tập 2: Theo đề bài đường thẳng AB và AC vuông góc với (P), dựa vào định lí trên thì nhận xét gì về đường thẳng AB và AC?

- HS đọc, trình bày lại Ví dụ 3: chỉ ra sự tồn tại duy nhất của hình chiếu theo phương vuông góc của một điểm lên mặt phẳng.

Sản phẩm dự kiến:

HĐ 3:

Ta có: . 

Do vàphân biệt nên và phân biệt.

Mà đi qua và vuông góc với .

Kết luận

Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Nhận xét

Nếu ba đường thẳng đôi một phân biệt cùng đi qua điểm O và cùng vuông góc với một đường thẳng thì ba đường thẳng đó cùng nằm trong mặt phẳng đi qua O và vuông góc với

Ví dụ 2 (SGK-tr33)

Chú ý:

Mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đường thẳng được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều

HĐ 4:

a) Vì và cắt nhau theo một giao tuyến

Tương tự và cắt nhau theo một giao tuyến m

Do và cắt nhau nên cắt nhau; suy ra chúng phân biệt. không trùng nhau.

Mặt khác, có điểm chung O nên  cắt nhau theo một đường thẳng đi qua O.

b) Ta có: đi qua O

Mà

Kết luận

Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông óc với một mặt phẳng cho trước.

Luyện tập 2

Ta có:

Mặt khác, qua điểm có duy nhất đường thẳng vuông góc với

thẳng hàng.

Ví dụ 3 (SGK -tr.34)

......

HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Từ nội dung bài học, GV yêu cầu HS hoàn thành các bài tập trắc nghiệm sau:

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA ⊥ (ABCD). Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của AB, BC và SB. Khẳng định nào sau đây sai?

A. (IJK) // (SAC)

B. BD ⊥ (IJK)

C. Góc giữa SC và BD có số đo 60∘

D.  BD ⊥ (SAC)

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA ⊥ (ABCD). Các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. SA ⊥ BD

B. SC ⊥ BD

C. SO ⊥ BD

D. AD ⊥ SC

Câu 3: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) và đường thẳng b vuông góc với a thì b vuông góc với mặt phẳng (P)

B. Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b và b song song với mặt phẳng (P) thì a song song hoặc nằm trên mặt phẳng (P)

C. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) và đường thẳng b vuông góc với mặt phẳng (P) thì a vuông góc với b

D. Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA ⊥ (ABCD). Mặt phẳng qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD theo thứ tự tại H, M, K. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?

A. AK ⊥ HK

B. HK ⊥ AM

C. BD ⊥ HK 

D. AH ⊥ SB

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi. O là giao điểm của hai đường chéo SA = SC. Các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. SA ⊥ (ABCD)

B. BD ⊥ (SAC)

C. AC ⊥ (SBD)

D. AB ⊥ (SAC)

Sản phẩm dự kiến:

HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG

Vận dụng kiến thức, GV yêu cầu HS hoàn thành bài tập sau:

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và SA⊥(ABCD). Gọi M, N tương ứng là hình chiếu của A trên SB, SD. Chứng minh rằng: AM⊥(SBC), AN⊥(SCD), SC⊥(AMN)

Câu 2: Bạn Vinh thả quả dọi chìm vào thùng nước. Hỏi khi dây dọi căng và mặt nước yên lặng thì đường thẳng chứa dây dọi có vuông góc với mặt phẳng chứa mặt nước trong thùng hay không?