Giáo án và PPT Toán 11 kết nối Bài tập cuối chương II

CHƯƠNG II. DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG II

HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

-  GV trình chiếu câu hỏi củng cố, cho HS suy nghĩ và trả lời.

Cho dãy số (u_n) với u_n = 3n + 6. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Dãy số (u_n) là cấp số cộng với công sai d = 3.

B. Dãy số (u_n) là cấp số cộng với công sai d = 6.

C. Dãy số (u_n) là cấp số nhân với công bội q = 3.

D. Dãy số (u_n) là cấp số nhân với công bội q = 6.

- GV gọi đại diện một số thành viên nhóm HS trả lời, HS khác nhận xét, bổ sung, dẫn dắt vào bài học mới.

HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

- GV yêu cầu HS nhắc lại kiến thức đã học:

+ Trình bày định nghĩa dãy số, dãy số tăng là gì? Dãy số giảm là gì?Dãy số bị chặn là gì?.

+ Trình bày định nghĩa cấp số cộng? Viết công thức của cấp số cộng?

+ Trình bày định nghĩa cấp số nhân? Viết công thức của cấp số nhân?

Sản phẩm dự kiến:

* Nhóm 1

+ Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số), kí hiệu là .

+ Mỗi hàm số u xác định trên tập với được gọi là một dãy số hữu hạn.

- Một dãy số có thể cho bằng:

+ Liệt kê các số hạng (chỉ dùng cho các dãy hữu hạn và có ít số hạng).

+ Công thức của số hạng tổng quát.

+ Phương pháp mô tả.

+ Phương pháp truy hồi

- Dãy số được gọi là dãy số tăng nếu ta có: với mọi .

- Dãy số được gọi là dãy số giảm nếu ta có với mọi .

- Dãy số được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho với .

- Dãy số được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho

- Dãy số được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m. M sao cho , .

* Nhóm 2:

- Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng trước nó cộng với một số không đổi d. Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

với

- Nếu cấp số cộng có số hạng đầu và công sai d thì số hạng tổng quát của nó được xác định theo công thức:

.

- Cho cấp số cộng với công sai d. Đặt . Khi đó

* Nhóm 3

- Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

với

- Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu và công bội q thì số hạng tổng quát của nó được xác định bởi công thức

với

- Cho cấp số nhân với công bội . Đặt . Khi đó 

HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Yêu cầu: HS vận dụng các kiến thức của bài học hoàn thành bài tập thông qua đưa ra câu trả lời đúng cho các câu hỏi trắc nghiệm.

Câu 1. Cho dãy số: –1; –1; –1; –1; –1; … Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Dãy số này không phải là cấp số nhân.

B. Là cấp số nhân có u1=−1; q=1.

C. Số hạng tổng quát un=(−1)ⁿ.

D. Là dãy số giảm.

Câu 2. Cho cấp số nhân (un)un với u1=3; q=−2. Số 192 là số hạng thứ mấy của (un)un ?

A. Số hạng thứ 5.

B. Số hạng thứ 6.

C. Số hạng thứ 7.

D. Không là số hạng của cấp số đã cho.

Câu 3. Cho một cấp số cộng có u1=−3;u6=27. Tìm d ?

A. d=5.

B. d=7.

C. d=6.

D. d=8.

Câu 4. Cho cấp số cộng (un)un có: u1=−0,1;d=0,1. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là:

A. 1,6

B. 6

C. 0,5

D. 0,6

Câu 5. Cho cấp số cộng (un) thỏa: . Tính số hạng thứ 100 của cấp số ;

A.  u100=−243

B.  u100=−295

C.  u100=−231

D.  u100=−294

Sản phẩm dự kiến:

HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG

GV yêu cầu HS thảo luận cặp đôi, hoàn thành hai bài tập sau:

Bài 1. Một hình vuông màu vàng có cạnh 1 đơn vị dài được chia thành chín hình vuông nhỏ hơn và hình vuông ở chính giữa được tô màu xanh như Hình 2.1. Mỗi hình vuông màu vàng nhỏ hơn lại được chia thành chín hình vuông con, và mỗi hình vuông con ở chính giữa là được tô màu xanh. Nếu quá trình này được tiếp tục lặp lại năm lần, thì tổng diện tích các hình vuông được tô màu xanh bằng bao nhiêu?

Bài 2. Tìm ba số, biết theo thứ tự chúng lập thành cấp số cộng và có tổng bằng 21, và nếu lần lượt cộng thêm các số 2; 3; 9 vào ba số đó thì được ba số lập thành một cấp số nhân.

Sản phẩm dự kiến:

Bài 1: 

+ Chia lần 1: Hình vuông màu vàng lớn có cạnh bằng 1 đơn vị thì có diện tích bằng 1 (đvdt). Chia hình vuông này thành 9 hình vuông nhỏ hơn và hình vuông ở chính giữa được tô màu xanh, thì hình vuông màu xanh đầu tiên này có diện tích bằng (đvdt).

+ Chia lần 2: 8 hình vuông màu vàng còn lại, mỗi hình vuông này lại được chia thành 9 hình vuông con và tiếp tục tô xanh hình vuông chính giữa, khi đó mỗi hình vuông xanh nhỏ hơn có diện tích S₁ = ⋅=, 8 hình vuông xanh nhỏ hơn có diện tích bằng 8S₁.

Cứ tiếp tục như vậy, mỗi lần chia ta sẽ tạo thành 8 hình vuông xanh nhỏ hơn tiếp đối với mỗi ô vuông vàng nhỏ.

Do đó, quá trình này được tiếp tục lặp lại năm lần, thì trừ lần đầu tiên, 4 lần sau, mỗi lần chia diện tích ô vuông xanh tạo thành lập thành một cấp số nhân có u₁ = 8. và công bội q=8..

Vậy tổng diện tích các hình vuông được tô màu xanh là

Bài 2: 

Giả sử 3 số cần tìm là x, y, z với x < y < z.

Ta có: x + y + z = 21 ⇒ x + z = 21 – y.

Theo Bài 2.29a, vì x, y, z lập thành một cấp số cộng nên y = .

Do đó, y=. Từ đó suy ra y = 7.

Gọi d là công sai của cấp số cộng thì x = y – d = 7 – d và z = y + d = 7 + d.

Sau khi thêm các số 2; 3; 9 vào ba số x, y, z ta được ba số là x + 2, y + 3, z + 9 hay 9 – d, 10, 16 + d và theo đề bài thì 3 số này lập thành một cấp số nhân.

Áp dụng Bài 2.29b, ta có: (9 – d)(16 + d) = 10²

⇔ 144 – 7d – d² = 100

⇔ d² + 7d – 44 = 0

Giải phương trình bậc hai trên ta được d = – 11 hoặc d = 4.

+) Với d = – 11, ta có cấp số cộng gồm 3 số 18, 7, – 4.

+) Với d = 4, ta có cấp số cộng gồm 3 số 3, 7, 11.

Vậy có hai bộ ba số cần tìm là (18, 7, – 4) và (3, 7, 11).