Giáo án powerpoint dạy thêm Toán 11 kết nối Bài 6: Cấp số cộng

NHIỆT LIỆT CHÀO MỪNG TẤT CẢ CÁC EM ĐẾN VỚI TIẾT HỌC ! 

KHỞI ĐỘNG 

• Cho ví dụ về cấp số cộng.
• Cho cấp số cộng có số hạng đầu là u_1=3, số hạng thứ hai là u_2=2, hãy xác định công sai và số hạng tổng quát của cấp số cộng này.

CHƯƠNG II:  

DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG  

VÀ CẤP SỐ NHÂN 

BÀI 6: CẤP SỐ CỘNG 

HỆ THỐNG  

KIẾN THỨC 

1. Định nghĩa

Cấp số cộng là một dãy số (hữa hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d. Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. 

Cấp số cộng (u_n ) với công sai d được cho bởi hệ thức truy hồi 

u_n=u_(n-1)+d" với " n≥2". " 

Ví dụ: Cấp số cộng: 1; 4; 7; 10; 13;… 

2. Số hạng tổng quát

Nếu cấp số cộng (u_n ) có số hạng đầu u_1 và công sai d thì số hạng tổng quát u_n của nó được xác định theo công thức 

u_n=u_1+(n-1)d 

Chú ý: Tính chất 

u_k=(u_(k-1)+u_(k+1))/2, ∀k≥2 

3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

Cho cấp số cộng (u_n ) với công sai d. Đặt S_n=u_1+u_2+…+u_n. Khi đó 

S_n=n/2 [2u_1+(n-1)d] 

"hay" S_n=n(u_1+u_n )/2 

LUYỆN TẬP 

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1 

DẠNG 1: Xác định cấp số cộng và các yếu tố của cấp số cộng 

Phương pháp giải:  

Để xác định một cấp số cộng ta xác định số hạng đầu và công sai. 

Bài 1. a) Chứng minh rằng dãy số hữu hạn sau là một cấp số cộng: -2, 2, 6, 10, 14, 18. 

"b) Cho cấp số cộng " (u_n )" có 7 số hạng với số hạng đầu " u_1=2/3 " và công sai" d=-4/3. 

Viết dạng khai triển của cấp số cộng đó. 

Giải: 

1. a) Vì   2=-2+4;     6=2+4;      10=6+4;

14=10+4;   18=14+4.  

Nên theo định nghĩa cấp số cộng, dãy số -2, 2, 6, 10, 14, 18 là một cấp số cộng với công sai d=4. 

1. b) Ta có u_2=u_1+d=-2/3;    u_3=u_2+d=-2;    u_4=u_3+d=-10/3;

    u_5=u_4+d=-14/3;   u_6=u_5+d=-6;     u_7=u_6+d=-22/3; 

Vậy dạng khai triển của cấp số cộng (u_n ) là  

2/3; -2/3; -2; -10/3; -14/3; -6; -22/3 

Bài 2. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng sau 

1. a) Dãy số (a_n ), với a_n=4n-3

Giải: 

Ta có a_(n+1)=4(n+1)-3=4n+1 nên 

 a_(n+1)-a_n=(4n+1)-(4n-3)=4, ∀n≥1 

Do đó (a_n ) là cấp số cộng với số hạng đầu a_1=4.1-3=1 và công sai d=4. 

"b) Dãy số " (b_n )", với" b_n=(2-3n)/4 

Giải: 

"Ta có " b_(n+1)=(2-3(n+1))/4=(-1-3n)/4 " nên" 

b_(n+1)-b_n=(-1-3n)/4-(2-3n)/4=-3/4, ∀n≥1 

"Suy ra " (b_n )" là cấp số cộng với số hạng đầu " b_1=(2-3.1)/4=-1/4 " và công sai" d=-3/4 

1. c) Dãy số (c_n ), với c_n=6n-4

Giải: 

Ta có: c_(n+1)-c_n=6(n+1)-4-(6n-4)=6, ∀n≥1 

Do đó (c_n ) là cấp số cộng với số hạng đầu a_1=6.1-4=2 và công sai d=6. 

Bài 3. a) Cho cấp số cộng (u_n ) có u_1=123 và u_3-u_15=84. Tìm số hạng u_17. 

5. b) Cho cấp số cộng (u_n ) có u_1=2 và d=-5. Tìm u_20. Số -2018 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng?

Giải: 

"a) Ta có công sai của cấp số cộng là" d=(u_3-u_15)/(3-15)=84/(-12)=-7 

Suy ra u_17=u_1+(17-1)d=11 

19. b) Ta có u_20=u_1+(20-1)d=2+19.(-5)=-93

Số hạng tổng quát của cấp số cộng là u_n=u_1+(n-1)d=7-5n 

Vì u_n=-2018 nên 7-5n=-2018⇔n=405 

Do n=405 là số nguyên dương nên số -2018 là số hạng thứ 405 của cấp số cộng đã cho. 

5. b) Cho cấp số cộng (u_n ) có u_1=2 và d=-5. Tìm u_20. Số -2018 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng?

Giải: 

"a) Ta có công sai của cấp số cộng là" d=(u_3-u_15)/(3-15)=84/(-12)=-7 

Suy ra u_17=u_1+(17-1)d=11 

19. b) Ta có u_20=u_1+(20-1)d=2+19.(-5)=-93

Số hạng tổng quát của cấp số cộng là u_n=u_1+(n-1)d=7-5n 

Vì u_n=-2018 nên 7-5n=-2018⇔n=405 

Do n=405 là số nguyên dương nên số -2018 là số hạng thứ 405 của cấp số cộng đã cho. 

Bài 4. a) Cho cấp số cộng (u_n ) có u_99=101 và u_101=99. Tìm u_100. 

2. b) Cho cấp số cộng -2, x, 6, y. Tính giá trị của biểu thức P=x^2+y^2.

Giải: 

"a) Theo tính chất của cấp số cộng, ta có " u_100=(u_99+u_101)/2 " nên" u_100=100. 

"b) Theo tính chất của cấp số cộng, ta có " x=(-2+6)/2=2" và" 6=(x+y)/2 

Vì x=2 nên y=10 

Vậy P=x^2+y^2=2^2+10^2=104. 

Bài 5. 

1945. a) Cho cấp số cộng (u_n ) có u_2=2017;u_5=1945. Tính u_2018.

Giải: 

Gọi d là công sai của cấp số cộng. Theo giả thiết, ta có:  

{█(u_1+d=2017@u_1+4d=1945)┤⇔{█(u_1=2041@d=-24)┤  

Suy ra u_2018=u_1+2017d=-46367 

1. b) Cho cấp số cộng (x_n ) có S_n=3n^2-2n. Tìm số hạng đầu u_1 và công sai d của cấp số.

Giải: 

Ta có u_1=S_1=1 và u_1+u_2=S_2=8  

Suy ra u_2=7 

Vậy d=u_2-u_1=6. 

2. c) Cho cấp số cộng (u_n ) có S_n=7n-2n^2. Tính giá trị của biểu thức P=u_3^2+u_5^2+u_7^2.

Giải: 

Ta có u_n=S_n-S_(n-1)=9-4n 

Suy ra u_3=-3,u_5=-11,u_7=-19  

Do đó P=491. 

3. d) Cho cấp số cộng (u_n ) với {█(&u_3+u_5=5@&u_3.u_5=6)┤. Tìm số hạng đầu của cấp số cộng.

Giải: 

Ta có {█(u_3+u_5=5@u_3.u_5=6)┤⇔{█(u_3=2@u_5=3)┤ hoặc {█(u_3=3@u_5=2)┤ 

Giải {█(u_3=2@u_5=3)┤, ta được u_1=1 

Giải {█(u_3=3@u_5=2)┤, ta được u_1=4 

Bài 6. Biết rằng tồn tại các giá trị của x∈[0;2π] để ba số 1+sin⁡x,〖sin〗^2⁡x,1+sin⁡3 x lập thành một cấp số cộng, tính tổng S các giá trị đó của x. 

...