Giáo án powerpoint dạy thêm Toán 11 kết nối Bài tập cuối chương 2

CHÀO MỪNG CẢ LỚP  

ĐẾN VỚI TIẾT HỌC HÔM NAY! 

KHỞI ĐỘNG 

• Cho ví dụ về cấp số cộng và xác định số hạng đầu, công sai và số hạng tổng quát.
• Cho ví dụ về cấp số nhân và xác định số hạng đầu, công bội và số hạng tổng quát.

CHƯƠNG II: DÃY SỐ.  

CẤP SỐ CỘNG VÀ  

CẤP SỐ NHÂN 

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG II 

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1 

Bài 1. Cho dãy số (u_n ) với u_n=n^2-4n+3. 
a) Viết công thức truy hồi của dãy số;          b) Chứng minh dãy số bị chặn dưới. 

Giải: 

1. a) Ta có u_1=0

Xét hiệu u_(n+1)-u_n=(n+1)^2-4(n+1)+3-n^2+4n-3=2n-3 

Vậy công thức truy hồi là {█(u_1=0@u_n+1=u_n+2n-3 với n≥1.)┤ 

1. b) u_n=n^2-4n+3=(n-2)^2-1≥-1

Vậy dãy số (u_n ) bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên. 

Bài 2. Tìm cấp số cộng (u_n ), biết  {■(u_1+u_2+u_3=27@u_1^2+u_2^2+u_3^2=275)┤ 

Giải: 

"Áp dụng công thức " S_n=n(u_1+u_2 )/2 " tìm được " u_1+u_3=18", suy ra" u_2=9 

Thay u_2=9 vào hệ ta có: {■(u_1+u_3=18@u_1^2+u_3^2=194)┤ 

Từ đây tìm được u_1=5, u_3=13 

Vậy cấp số cộng là 5, 9, 13 (u_1=5, công sai d=4). 

Bài 3. Một người gửi số tiền 100 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 7%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi được nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi đó là lãi kép). Giả sử trong khoảng thời gian gửi người gửi không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi, hỏi sau 10 năm thì tổng số tiền cả vốn lẫn lãi mà người gửi nhận được bằng bao nhiêu? 

Giải: 

Đặt M_0=10^8 (đồng) và r=7%=0,07 

Gọi M_n là số tiền cả vốn lẫn lãi mà người gửi nhận được sau n năm 

Theo giả thiết, ta có M_(n+1)=M_n+M_n.r=M_n (1+r),∀n≥1 

Do đó dãy số (M_n ) là cấp số nhân với số hạng đầu M_0 và công bội q=1+r 

Suy ra M_n=M_0 (1+r)^n 

Vì vậy, sau 10 năm thì tổng số tiền cả vốn lẫn lãi mà người gửi nhận được là  

M_10=M_0 (1+r)^10=10^8.(1,07)^10≈196715000. 

"Bài 4. Cho cấp số cộng " (u_n )", chứng minh rằng nếu "  S_m/S_n =m^2/n^2   "thì" □(u_m/u_n )=(2m-1)/(2n-1). 

Giải: 

"Ta có" □(S_m=(2u_1+(m-1)d)/2 m); S_n=(2u_1+(n-1)d)/2 n 

"Theo giả thiết"  S_m/S_n =[2u_1+(m-1)d]m/[2u_1+(n-1)d]n=m^2/n^2  

"Suy ra " (2u_1-d)(m-n)=0 ("với" m≠n) 

"Từ đó" □(u_1=d/2) 

"Vậy" □(u_m/u_n =(u_1+(m-1)d)/(u_1+(n-1)d)=(d/2+(m-1)d)/(d/2+(n-1)d)=(2m-1)/(2n-1)) 

Bài 5. Cho cấp số nhân a,b,c,d. Chứng minh rằng 

1. a) (b-c)^2+(c-a)^2+(d-b)^2=(a-d)^2;
2. b) (a+b+c)(a-b+c)=a^2+b^2+c^2.

Giải: 

Ta có b^2=ac;c^2=bd;ad=bc. 

1. a) Biến đổi vế trái

(b-c)^2+(c-a)^2+(d-b)^2=b^2+c^2-2bc+c^2-2ac+a^2+d^2-2bd+b^2 

                  =a^2-2ad+d^2=(a-d)^2 

1. b) (a+b+c)(a-b+c)=(a+c)^2-b^2=a^2+2ac+c^2-b^2

 =a^2+c^2+2b^2-b^2 

 =a^2+b^2+c^2." " 

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2 

Bài 1. Tìm cấp số nhân (u_n ) biết {■(u_1+u_2+u_3+u_4=15@u_1^2+u_2^2+u_3^2+u_4^2=85)┤ 

"Ta thấy " q≠1". Khi đó" (1)⇔{■((u_1 (q^4-1))/(q-1)=15@(u_1^2 (q^8-1))/(q^2-1)=85)⇔{■((u_1^2 (q^4-1)^2)/((q-1)^2 )=225@(u_1^2 (q^8-1))/(q^2-1)=85.)┤┤ 

Chia từng vế của hai phương trình, ta được 

((q^4-1)^2 (q^2-1))/((q-1)^2 (q^8-1) )=225/85⇔((q+1)^2 (q^2+1))/(q^4+1)=45/17 

⇔14q^4-17q^3-17q^2-17q+14=0 

"Chia hai vế của phương trình cho " q^2 " và đặt" x=q+1/q ", ta có" 

14x^2-17x-45=0⇔x_1=5/2;x_2=-9/7 

"Ta có hai phương trình " q+1/q=-9/7 " " (v"ô"  nghi"ệ" m)" và" q+1/q=5/2 

"Giải phương trình này tìm được" q=2,q=1/2 

Tương ứng có u_1=1,u_1=8 

"Vậy, ta có hai cấp số nhân " 1,2,4,8,…(u_1=1,q=2)" và" □( ) 8,4,2,1,…(u_1=8,q=1/2). 

Bài 2. Một cấp số cộng và một cấp số nhân đều là các dãy tăng. Các số hạng thứ nhất đều bằng 3, các số hạng thứ hai bằng nhau. Tỉ số giữa các số hạng thứ ba của cấp số nhân và cấp số cộng là 9/5. Tìm hai cấp số ấy. 

Giải: 

Nếu có cấp số cộng 3,u_2,u_3 thì cấp số nhân là 3,u_2, (9u_3)/5 

Theo tính chất của các cấp số, ta có u_2=(3+u_3)/2 " " v"à " u_2^2=3⋅(9u_3)/5 hay ((3+u_3)/2)^2=(27u_3)/5 

Biến đổi đưa về phương trình : 5u_3^2-78u_3+45=0 (u_3>3) 

Giải ra ta có u_3=15  

Vậy các cấp số cần tìm là: cấp số cộng □(3, 9, 15); cấp số nhân 3, 9, 27. 

Bài 3. Cho bốn số nguyên dương, trong đó ba số đầu lập thành một cấp số cộng, ba số sau lập thành một cấp số nhân. Biết rằng tổng của số hạng đầu và cuối là 37, tổng của hai số hạng giữa là 36, tìm bốn số đó. 

Giải: 

Gọi bốn số phải tìm là u_1,u_2,u_3,u_4, ta có  

cấp số cộng u_2-d,u_2,u_2+d và cấp số nhân u_2,u_2 q,u_2 q^2 

Theo giả thiết ta có {■(2u_2+d=u_2 (1+q)=36       (1)@u_2-d+u_2 q^2=37                   (2))┤ 

"Từ "(1)" suy ra" u_2=(36-d)/2=36/(1+q)⇒d=36-72/(1+q)     (3) 

"Từ " (2)" suy ra" u_2=(37+d)/(1+q^2 )," " do "đó "  (37+d)/(1+q^2 )=36/(1+q)    (4) 

Thay d ở (3) vào hệ thức (4) và rút gọn, ta được phương trình 36q^2-73q+35=0" " 

"Giải ra được" q=5/4,q=7/9 

"Vậy với " □(q=5/4) " thì" u_2=36/(1+5/4)=16,u_3=16⋅5/4=20,u_4=20⋅5/4=25 

và u_1=37-u_4=37-25=12 

Bốn số cần tìm là 12, 16, 20, 25. 

Bài 4.  

192. a) Cho cấp số nhân x,12,y,192. Tìm x và
193. b) Cho cấp số nhân (u_n ) có u_1=5,q=3 và S_n=200, tìm n và u_n.
194. c) Cho cấp số nhân (u_n ) có tổng n số hạng đầu tiên là S_n=5^n-1. Tìm số hạng đầu u_1 và công bội q của cấp số nhân đó.

Giải: 

12. a) Theo tính chất của cấp số nhân, ta có: y^2=12.192=2304 ⇒y=±48

Cũng theo tính chất của cấp số nhân, ta có: xy=12^2=144  

Với y=48 thì x=3; với y=-48 thì x=-3. 

"b) Ta có" S_n=u_1. (1-q^n)/(1-q) "nên theo giả thiết, ta có:" 

5. (1-3^n)/(1-3)=200⇔3^n=81⇔n=4

Suy ra u_4=u_1.q^3=135. 

1. c) Ta có u_1=S_1=5-1=4 và u_2=S_2-S_1=(5^2-1)-(5-1)=20

Từ đó u_1=4,q=5. 

Bài 5. Biết rằng tồn tại hai giá trị của tham số m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng: x^4-10x^2+2m^2+7m=0, tính tổng lập phương của hai giá trị đó. 

Giải: 

Đặt t=x^2  (t≥0). Khi đó ta có phương trình: t^2-10t+2m^2+7m=0 (∗) 

Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (∗) có 2 nghiệm dương phân biệt ⇔{█(&5^2-(2m^2+7m)>0@&2m^2+7m>0)┤⇔0<2m^2+7m<25  

(do tổng hai nghiệm bằng 10>0 nên không cần điều kiện này) 

Với điều kiện trên thì (∗) có hai nghiệm dương phân biệt là t_1,t_2  (t_1<t_2) 

Khi đó phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt là -√(t_2 );-√(t_1 );√(t_1 );√(t_2 ) 

Bốn nghiệm này lập thành một cấp số cộng khi  

-√(t_1 )-(-√(t_2 ))=√(t_1 )-(-√(t_1 ))=√(t_2 )-√(t_1 )⇔t_2=9t_1 

Theo định lý Vi-ét ta có: t_1+t_2=10;t_1.t_2=2m^2+7m 

"Suy ra ta có hệ phương trình" {█(&t_2=9t_1@&t_1+t_2=10@&t_1.t_2=2m^2+7m)┤⇔{█(&t_1=1@&t_2=9@&2m^2+7m=9)┤⇒[█(&m=1@&m=-9/2)┤ 

Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện nên đều có thể nhận được 

"Do đó" 1^3+(-9/2)^3=-721/8. 

Bài 6. Trên một bàn cờ có nhiều ô vuông. Người ta đặt 7 hạt dẻ vào ô vuông đầu tiên, sau đó đặt tiếp vào ô thứ hai số hạt dẻ nhiều hơn ô đầu tiên là 5, tiếp tục đặt vào ô thứ ba số hạt dẻ nhiều hơn ô thứ hai là 5, … và cứ thế tiếp tục đến ô cuối cùng. Biết rằng đặt hết số ô trên bàn cờ người ta đã phải sử dụng hết 25450 hạt dẻ. Hỏi bàn cờ đó có bao nhiêu ô? 

...