Giáo án powerpoint dạy thêm Toán 11 kết nối Bài tập cuối chương 1

CHÀO MỪNG CÁC EM HỌC SINH 

ĐẾN VỚI TIẾT HỌC HÔM NAY! 

KHỞI ĐỘNG 

• Hãy nêu các công thức lượng giác của góc nhân đôi sin⁡〖2a, 〗 cos⁡〖2a, 〗 tan⁡〖2a.〗 
• Hãy nêu tập nghiệm của phương trình tan⁡〖x=a〗? Cần điều kiện gì để phương trình có nghiệm?

CHƯƠNG I:  

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ 

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG I 

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1 

Bài 1. Giải phương trình 

"a)" cot⁡(4x-π/6)=√3 

⇔cot⁡(4x-π/6)=cot⁡〖π/6〗 

⇔4x-π/6=π/6+kπ,k∈Z 

⇔4x=π/3+kπ,k∈Z 

⇔x=π/12+k π/4,k∈Z 

"b) " (cot⁡x/3-1)(cot⁡x/2+1)=0 

"Điều kiện: "  sin⁡〖x/3〗≠0" và" sin⁡x/2≠0 

⇔[■(cot⁡x/3-1=0@cot⁡x/2+1=0)⇔[■(cot⁡x/3=1@cot⁡x/2=-1)⇒[■(x=3π/4+k3π,k∈Z@x/3=π/4+kπ,k∈Z@x/2=-π/4+kπ,k∈Z)┤  ┤┤ 

⇒[■(x=3π/4+k3π,k∈Z@@x=-π/2+k2π,k∈Z)┤  (TM) 

"c) " cos⁡(2x+〖50〗^∘ )=½ 

⇔cos⁡(2x+〖50〗^∘ )=cos⁡〖60〗^∘ 

⇔2x+〖50〗^∘=±〖60〗^∘+k〖360〗^∘,k∈Z 

⇔[■(2x=-〖50〗^∘+〖60〗^∘+k〖360〗^∘,k∈Z@2x=-〖50〗^∘-〖60〗^∘+k〖360〗^∘,k∈Z)┤ 

⇔[■(x=5^∘+k〖180〗^∘,k∈Z@x=-〖55〗^∘+k〖180〗^∘,k∈Z)┤ 

"d) "(1+2cos⁡x)(3-cos⁡x)=0 

⇔[■(1+2cos⁡x=0@3-cos⁡x=0)┤ 

⇔[■(cos⁡x=-1/2@cos⁡x=3   (L))┤ 

⇒x=±2π/3+k2π,k∈Z 

Bài 2. Giải phương trình 

1. a) sin⁡2xcot⁡x=0;                                          b) tan⁡(x-〖30〗^∘ )cos⁡(2x-〖150〗^∘ )=0;

Giải: 

1. a) Điều kiện của phương trình là sin⁡x≠0

Ta biến đổi phương trình đã cho  

⇔2 sin⁡〖x cos⁡x 〗⋅cos⁡x/sin⁡x =0⇔2cos^2⁡x=0⇔cos⁡x=0⇒x=π/2+kπ,k∈Z 

Các giá trị này thoả mãn điều kiện của phương trình 

"Vậy nghiệm của phương trình là" x=π/2+kπ,k∈Z 

Giải: 

1. b) Điều kiện của phương trình tan⁡(x-〖30〗^∘ )cos⁡(2x-〖150〗^∘ )=0 là cos⁡(x-〖30〗^∘ )≠0

"Ta biến đổi phương trình đã cho" ⇔(sin⁡(x-〖30〗^∘ ))/(cos⁡(x-〖30〗^∘ ) )⋅cos⁡(2x-〖150〗^∘ )=0 

⇔[■(sin⁡(x-30^∘)=0@cos⁡(2x-150^∘)=0)⇒[■(x-〖30〗^∘=k〖180〗^∘,k∈Z@2x-〖150〗^∘=±〖90〗^∘+k〖360〗^∘,k∈Z)┤┤⇒[■(x=30^∘+k180^∘,k∈Z@2x=240^∘+k360^∘,k∈Z@2x=60^∘+k360^∘,k∈Z)⇒[■(x=〖30〗^∘+k〖180〗^∘,k∈Z@x=〖120〗^∘+k〖180〗^∘,k∈Z@x=〖30〗^∘+k〖180〗^∘,k∈Z.)┤┤ 

Khi thay vào điều kiện cos⁡(x-〖30〗^∘ )≠0, ta thấy giá trị x=〖120〗^∘+k〖180〗^∘ không thoả mãn, còn giá trị x=〖30〗^∘+k〖180〗^∘ thoả mãn 

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x=〖30〗^∘+k〖180〗^∘,k∈Z. 

Bài 3. Chứng minh biểu thức sau là một hằng số 

 y=√(sin^4⁡x+4cos^2⁡x)-√(cos^4⁡x+4sin^2⁡x)-cos⁡2x 

Giải: 

y=√(sin^4⁡x+4(1-sin^2⁡x ) )-√(cos^4⁡x+4(1-cos^2⁡x ) )-cos⁡2 x 

=√((sin^2⁡x-2)^2 )-√((cos^2⁡x-2)^2 )-co s⁡2 x 

=|sin^2⁡x-2|-|cos^2⁡x-2|-cos⁡2 x 

=2-sin^2⁡x-(2-cos^2⁡x )-cos⁡2 x 

=cos^2⁡x-sin^2⁡x-cos⁡2 x=0 

Bài 4. Chứng minh biểu thức sau không chứa x: 

y=1/(cos^6⁡x)-tan^6⁡x-(3tan^2⁡x)/(cos^2⁡x) 

Giải: 

y =(1-sin^6⁡x)/cos^6⁡x -(3 sin^2⁡x)/cos^4⁡x =(1-sin^6⁡x-3 sin^2⁡x  cos^2⁡x)/cos^6⁡x  

=((1-sin^2⁡x )(1+sin^2⁡x+sin^4⁡x )-3 sin^2⁡x  cos^2⁡x)/cos^6⁡x  

=cos^2⁡x/cos^6⁡x  (1+sin^4⁡x-2 sin^2⁡x )=(1-sin^2⁡x )^2/cos^4⁡x =1 

Bài 5. Tính các biểu thức sau không sử dụng máy tính cầm tay 

"a)" sin^4⁡π/16+sin^4⁡3π/16+sin^4⁡5π/16+sin^4⁡7π/16 

=((1-cos⁡π/8)/2)^2+((1-cos⁡3π/8)/2)^2+((1-cos⁡5π/8)/2)^2+((1-cos⁡7π/8)/2)^2 

=1/4 (1-2 cos⁡〖π/8〗+cos^2⁡〖π/8〗+1-2 cos⁡〖3π/8〗+cos^2⁡〖3π/8〗+1-2 cos⁡〖5π/8〗+cos^2⁡〖5π/8〗+1-2 cos⁡〖7π/8+cos^2⁡〖7π/8〗 〗 ┤ 

=1-1/2 (cos⁡〖π/8〗+cos⁡〖3π/8〗+cos⁡〖5π/8〗+cos⁡〖7π/8〗 )  +1/4 ((1+cos⁡π/4)/2+(1+cos⁡3π/4)/2+(1+cos⁡5π/4)/2+(1+cos⁡7π/4)/2) 

=1-1/2 (cos⁡π/8+cos⁡3π/8-cos⁡3π/8-cos⁡π/8)+1/8 (4+√2/2-√2/2-√2/2+√2/2)=3/2 

"b) " cot⁡7,5^∘+tan⁡67,5^∘-tan⁡7,5^∘-cot⁡67,5^∘ 

=(cos⁡7,5^∘)/(sin⁡7,5^∘ )-(sin⁡7,5^∘)/(cos⁡7,5^∘ )+(sin⁡67,5^∘)/(cos⁡67,5^∘ )-(cos⁡67,5^∘)/(sin⁡67,5^∘ )=(2sin⁡(〖135〗^∘-〖15〗^∘ ))/(sin⁡(〖45〗^∘-〖30〗^∘ )sin⁡(〖180〗^∘-〖45〗^∘ ) ) 

=(cos^2⁡7,5^∘-sin^2⁡7,5^∘)/(sin⁡7,5^∘ cos⁡7,5^∘ )+(sin^2⁡〖67.5〗^∘-cos^2⁡67,5^∘)/(sin⁡67,5^∘ cos⁡67,5^∘ )=(2sin⁡〖120〗^∘)/((sin⁡〖45〗^∘ cos⁡〖30〗^∘-cos⁡〖45〗^∘ sin⁡〖30〗^∘ )sin⁡〖45〗^∘ ) 

=(cos⁡〖15〗^∘)/(1/2 sin⁡〖15〗^∘ )-cos⁡〖〖135〗^∘ 〗/(1/2  sin⁡〖〖135〗^∘ 〗 )=2(sin⁡〖135〗^∘ cos⁡〖15〗^∘-cos⁡〖135〗^∘ sin⁡〖15〗^∘ )/(sin⁡〖15〗^∘ sin⁡〖135〗^∘ ) 

=√3/(√2/2 (√3/2-1/2)⋅√2/2)=(4√3)/(√3-1)=6+2√3 

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2 

Bài 1. Rút gọn biểu thức 

"a)"  (sin^2⁡2α+4sin^4⁡α-4sin^2⁡αcos^2⁡α)/(4-sin^2⁡2α-4sin^2⁡α) 

=(sin^2⁡2α+4sin^4⁡α-sin^2⁡2α)/(4cos^2⁡α-4sin^2⁡αcos^2⁡α) 

=(4sin^4⁡α)/(4cos^2⁡α(1-sin^2⁡α) ) 

=tan^4⁡α 

1. b) 3-4 cos⁡2a+cos⁡4a

=3-4(1-2sin^2⁡a)+(1-2sin^2⁡2a) 
=8 sin^2⁡a-8 sin^2⁡〖a cos^2⁡a 〗 

=8sin^2⁡a(1-cos^2⁡a) =8sin^4⁡a 

1. c) cos⁡4a-sin⁡4acot⁡2a

=2 cos^2⁡2 a-1-2 sin⁡2a  cos⁡2a   cos⁡2a/sin⁡2a  

=-1 

"d)"  (cot⁡a+tan⁡a)/(1+tan⁡2atan⁡a) 

=((cos⁡a)/(sin⁡a)+(sin⁡a)/(cos⁡a))/(1+(sin⁡2asin⁡a)/(cos⁡2acos⁡a)) 

=1/(sin⁡acos⁡a)⋅(cos⁡acos⁡2a)/(cos⁡2acos⁡a+sin⁡2asin⁡a) 

=(1-sin⁡(a+π/4))/(sin⁡(a-π/4) )=(sin⁡π/2-sin⁡(a+π/4))/(sin⁡(a-π/4) ) 

=2/(sin⁡2a)⋅(cos⁡acos⁡2a)/(cos⁡(2a-a))=2cot⁡2a 

Bài 2. Không dùng máy tính cầm tay hãy tính 

1. a) cos⁡〖〖67〗^∘ 〖30〗^′ 〗

=cos⁡〖135〗^∘/2=√((1+cos⁡〖135〗^∘)/2)=√((1-√2/2)/2)=√(2-√2) /2 

cos⁡〖〖75〗^o 〗 

=cos⁡(〖45〗^∘+〖30〗^∘ )=√2/4(√3-1) 

"b)"  (cot⁡〖15〗^∘+1)/(2cot⁡〖15〗^∘ ) 

Giải: 

cot⁡〖30〗^∘=1/(tan⁡〖2.15〗^∘ )=(1-tan^2⁡〖15〗^∘)/(2tan⁡〖15〗^∘ )=(cot^2⁡〖15〗^∘-1)/(2cot⁡〖15〗^∘ ) 

Đặt x=cot⁡〖15〗^∘ và chú ý rằng cot⁡〖30〗^∘=√3 ta có 

√3=(x^2-1)/2x⇔x^2-2√3 x-1=0 

Giải phương trình trên ta được x=2+√3 (nghiệm x=√3-2 loại vì ├ cot⁡〖15〗^∘>0)  

"Do đó"  (cot⁡〖15〗^∘+1)/(2cot⁡〖15〗^∘ )=(2+√3+1)/(2(2+√3))=(3+√3)/(2(2+√3))=(3-√3)/2. 

"c) " tan⁡〖20〗^∘ tan⁡〖40〗^∘ tan⁡〖80〗^∘ 

=-tan⁡〖20〗^∘ tan⁡〖40〗^∘ tan⁡〖100〗^∘ 

=-tan⁡(〖60〗^o-〖40〗^o )  tan⁡〖〖40〗^o 〗 tan(〖60〗^o+〖40〗^o ) 

=-(tan⁡6 0^o-tan⁡4 0^o)/(1+tan⁡6 0^o.tan⁡4 0^o ) tan〖40〗^o  ( tan⁡6 0^o+tan⁡4 0^o)/(1-tan⁡6 0^o.tan⁡4 0^o ) 

=-(3-〖tan〗^2⁡〖〖40〗^o 〗)/(1-3 〖tan〗^2⁡〖〖40〗^o 〗 ) tan〖40〗^o=-tan120^o=√3 

("Có thể chứng minh được"  (tan⁡〖120〗^∘)/(tan⁡〖40〗^∘ )=(3-〖tan〗^2⁡〖40〗^∘)/(1-3〖tan〗^2⁡〖40〗^∘ )) 

Bài 3. Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ là AB sao cho AB = AD. Biết tan(BDC) ̂=3/4 "," 

"tính các giá trị lượng giác của" (BAD.) ̂ 

Giải: 

Ta có: (ABD) ̂=(ADB) ̂; (ABD) ̂=(BDC) ̂; (BDC) ̂=(ADB) ̂ 

Suy ra (BAD) ̂=π-2(BDC) ̂ 

Từ đó ta có tan⁡(BAD) ̂ =-tan⁡〖2(BDC) ̂ 〗=-(2 tan⁡(BDC) ̂ )/(1-tan^2⁡(BDC) ̂  )=-(2⋅3/4)/(1-9/16)=-3/2⋅16/7=-24/7  

Vì π/2<(BAD) ̂<π nên cos⁡(BAD) ̂<0. Do đó 

cos⁡(BAD) ̂=-1/√(1+tan^2⁡(BAD) ̂ )=-1/√(1+576/49)=-7/25  

sin⁡(BAD) ̂=cos⁡(BAD) ̂tan⁡(BAD) ̂=(-7)/25⋅(-24)/7=24/25. 

Bài 4. Chứng minh rằng 

"a)"  (1-cos⁡2a+sin⁡2a)/(1+cos⁡2a+sin⁡2a)=tan⁡a 

Giải: 

(1-cos⁡2 a+sin⁡2 a)/(1+cos⁡2 a+sin⁡2 a)=(2 〖sin〗^2⁡a+2 sin⁡a  cos⁡a)/(1+2 〖cos〗^2⁡a-1+2 sin⁡a  cos⁡a ) 

=├ 2 sin⁡a (sin⁡a+cos⁡a )/├ 2 cos⁡a (sin⁡a+cos⁡a ) =tan⁡a 

"b)"  ( cot⁡a+tan⁡a)/(1+tan⁡〖2a tan⁡a 〗 )=2 cot⁡2a 

Giải: 

(cot⁡a+tan⁡a)/(1+tan⁡2atan⁡a)=(1/(tan⁡a)+tan⁡a)/(1+(2tan⁡a)/(1-〖tan〗^2⁡a) tan⁡a) 

                            =(1+〖tan〗^2⁡a)/(tan⁡a):(1-〖tan〗^2⁡a+2〖tan〗^2⁡a)/(1-〖tan〗^2⁡a) 

      =(1-〖tan〗^2⁡a)/(tan⁡a)=2cot⁡2a 

"c) "  (√2-sin⁡a-cos⁡a)/(sin⁡a-cos⁡a )=-tan⁡(a/2-π/8) 

Giải: 

(√2-sin⁡a-cos⁡a)/(sin⁡a-cos⁡a)=(√2-√2 sin⁡(a+π/4))/(√2 sin⁡(a-π/4) )=(1-sin⁡(a+π/4))/(sin⁡(a-π/4) )=(sin⁡π/2-sin⁡(a+π/4))/(sin⁡(a-π/4) ) 

=(2cos⁡(a/2+3π/8)sin⁡(π/8-a/2))/(2sin⁡(a/2-π/8)cos⁡(a/2-π/8) )=(sin⁡(-a/2+π/8)sin⁡(π/8-a/2))/(sin⁡(a/2-π/8)cos⁡(a/2-π/8) )=(-sin⁡(a/2-π/8))/(cos⁡(a/2-π/8) )=-tan⁡(a/2-π/8) 

"d) "  cos⁡2a-cos⁡3a-cos⁡4a+cos⁡5a=-4 sin⁡〖a/2  sin⁡〖a cos⁡〖7a/2〗 〗 〗 

Giải: 

cos⁡2a-cos⁡3a-cos⁡4a+cos⁡5a 

=(cos⁡2a-cos⁡4a)+(cos⁡5a-cos⁡3a) 

=-2 sin⁡〖3a sin⁡(-a) 〗-2 sin⁡〖4a sin⁡a 〗 

=2sin⁡a(sin⁡3a-sin⁡4a) 

=4 sin⁡〖a cos⁡〖7a/2  sin⁡(-a/2) 〗 〗 

=-4sin⁡a/2 sin⁡acos⁡7a/2 

Bài 5. Rút gọn 

...