Giáo án powerpoint dạy thêm Toán 11 kết nối Bài 17: Hàm số liên tục

THÂN MẾN CHÀO CÁC EM HỌC SINH ĐẾN VỚI BÀI HỌC MỚI 

KHỞI ĐỘNG 

Câu hỏi:  

Thế nào là hàm số liên tục trên khoảng (a;b), hàm số liên tục trên một đoạn [a;b]. 

BÀI 17: HÀM SỐ LIÊN TỤC 

HỆ THỐNG KIẾN THỨC 

Thế nào là hàm số liên tục tại một điểm? 

Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b) chứa điểm x_0. Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x_0 nếu lim┬(x→x_o )⁡〖f(x)〗=f(x_0 ). 

Ví dụ: hàm số f(x)=(x-1)/(x-3) liên tục tại điểm x_o=2. 

Chú ý: 

Hàm số f(x) liên tục tại x_0 khi và chỉ khi  

lim┬(x→x_o^+ )⁡〖f(x)〗=lim┬(x→x_o^- )⁡〖f(x)〗=f(x_0 ). 

Khi nào hàm số liên tục trên một khoảng? 

- Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này. 

- Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và  

lim┬(x→a^+ ) f(x)=f(a),lim┬(x→b^- ) f(x)=f(b). 

Ví dụ: Xác định các hàm số sau liên tục trên đoạn nào? 

Y = 2x + 3 ; y = (x+1)/(x-2) 

Hàm số y=2x+3 liên tục trên đoạn [3; 4]. 

Hàm số y=(x+1)/(x-2)  không liên tục trên khoảng (1; 3) do bị gián đoạn tại x = 2. 

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1 

DẠNG 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm 

Phương pháp giải:  

Để xét sự liên tục của hàm số y=f(x) tại điểm tại x_0 ta thực hiện các bước : 

• Bước 1 : Tính f(x_0 )
• Bước 2 : Tính lim┬(x→x_0 ) f(x) (trong nhiều trường hợp để tính lim┬(x→x_0 ) f(x) ta cần tính lim┬(x→x_0^- ) f(x) và lim┬(x→x_0^+ ) f(x)
• Bước 3 : So sánh lim┬(x→x_0 ) f(x) và f(x_0 ) rồi rút ra kết luận.

 Chú ý: hàm số không liên tục tại x_0 thì được gọi là gián đoạn tại x_0. 

Bài 1. Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra : 

1. a) f(x)={█(&(x+3)/(x-1) " " khi x≠1 @&-1" " khi x=1)┤ (tại x=1)  
2. b) f(x)={█(&(√(x+3)-2)/(x-1) " " khi x≠1 @&1/4 " " khi x=1"             " )┤ (tại x=1) 
3. a) Ta có: f(-1)=(-1+3)/(-1-1)=-1

lim┬(x→-1) f(x)=lim┬(x→-1)  (x+3)/(x-1)=-1=f(-1)⇒ hàm số liên tục tại x=-1 

4. b) Ta có : f(1)=1/4.

lim┬(x→1) f(x)=lim┬(x→1)  ((√(x+3)-2))/((x-1) )=lim┬(x→1)  (√(x+3)-2)(√(x+3)+2)/(x-1)(√(x+3)+2)  

=lim┬(x→1)  1/(√(x+3)+2)=f(1) 

Vậy hàm số liên tục tại x=1. 

Bài 2. Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra: 

1. a) f(x)={█(&(2-7x+5x^2-x^3)/(x^2-3x+2)  khi x≠2@&1" " khi x=2)┤ (tại x=2)  
2. b) f(x)={█(&(x-5)/(√(2x-1)-3) " " khi x>5@&(x-5)^2+3" " khi x≤5 )┤ (tại x=5) 
3. a) Ta có: f(2)=1

Mà lim┬(x→2) f(x)=lim┬(x→2)  (2-7x+5x^2-x^3)/(x^2-3x+2)=lim┬(x→2)  (x-2)(-x^2+3x-1)/(x-2)(x-1) =lim┬(x→2)  (-x^2+3x-1)/((x-1) )=1=f(2) 

Vậy hàm số liên tục tại x=2 

3. b) Ta có: f(5)=(5-5)^2+3=3.

Lại có lim┬(x→5^- ) f(x)=lim┬(x→5^- ) [(x-5)^2+3]=3 

Và lim┬(x→5^+ ) f(x)=lim┬(x→5^+ )  (x-5)/(√(2x-1)-3)=lim┬(x→5^+ )  (x-5)(√(2x-1)+3)/(√(2x-1)-3)(√(2x-1)+3) =lim┬(x→5^+ )  (√(2x-1)+3)/2=3 

Từ đó f(5)=lim┬(x→5) f(x)⇒ hàm số liên tục tại x=5.  

Bài 3. Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:  

1. a) f(x)={█(&1-cos⁡x " " khi x≤0@&√(x+1) " " khi x>0)┤ (tại x=0)  
2. b) f(x)={█(&(x-1)/(√(2-x)-1) " " khi x<1@&-2x" " khi x≥1)┤ (tại x=1) 
3. a) Ta có: f(0)=1-cos⁡0=0.

Lại có {█(&lim┬(x→0^+ ) f(x)=lim┬(x→0^+ ) √(x+1)=1@&lim┬(x→0^- ) f(x)=lim┬(x→0^- ) (1-cos⁡x ) )┤  

nên không tồn tại giới hạn hàm số tại x=0 

Vậy hàm số không liên tục tại x=0. 

2. b) Ta có: f(1)=-2.1=-2.

Lại có {█(&lim┬(x→1^+ ) f(x)=lim┬(x→1^+ ) (-2x)=-2@&lim┬(x→1^- ) f(x)=lim┬(x→1^- )  (x-1)/(√(2-x)-1)=lim┬(x→1^- )  (x-1)(√(2-x)+1)/(√(2-x)-1)(√(2-x)+1) =lim┬(x→1^- )  (√(2-x)+1)/(-1)=-2)┤ 

Rõ ràng lim┬(x→1^+ ) f(x)=lim┬(x→1^- ) f(x)=f(1) nên hàm số liên tục tại x=1. 

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2 

DẠNG 2: Xét tính liên tục của hàm số trên khoảng, đoạn 

Phương pháp giải:  

• Để chứng minh hàm số y=f(x) liên tục trên một khoảng, đoạn ta dùng các định nghĩa về hàm số liên tục trên khoảng, đoạn và các nhận xét để suy ra kết luận.
• Khi nói xét tính liên tục của hàm số (mà không nói rõ gì hơn) thì ta hiểu phải xét tính liên tục trên tập xác định của nó.
• Tìm các điểm gián đoạn của hàm số tức là xét xem trên tập xác định của nó hàm số không liên tục tại các điểm nào.

...