Giáo án powerpoint dạy thêm Toán 11 kết nối Bài 2: Công thức lượng giác

CHÀO MỪNG CÁC EM  
ĐẾN VỚI TIẾT HỌC  
MÔN TOÁN! 

KHỞI ĐỘNG 

• Hãy nêu lại công thức cộng cos⁡( a-b),tan⁡( a-b).
• Hãy nêu lại công thức nhân đôi sin⁡2 a,cos⁡2 a,tan⁡2 a.

CHƯƠNG I:  

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 

BÀI 2: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 

HỆ THỐNG  
KIẾN THỨC 

1. Công thức cộng

cos(a-b)=cos⁡a  cos⁡b+sin⁡a  sin⁡b 

cos(a+b)=cos⁡a  cos⁡b-sin⁡a  sin⁡b 

sin(a-b)=sin⁡a  cos⁡b-cos⁡a  sin⁡b 

sin(a+b)=sin⁡a  cos⁡b+cos⁡a  sin⁡b 

tan⁡(a-b)=tan⁡〖a-tan⁡〖b 〗 〗/(1+tan⁡〖a tan⁡b 〗 ) 

tan⁡(a+b)=tan⁡〖a+tan⁡〖b 〗 〗/(1-tan⁡〖a tan⁡b 〗 ) 

(giả thiết biểu thức đều có nghĩa) 

2. Công thức nhân đôi

sin⁡〖2a=2 sin⁡〖a cos⁡a 〗 〗 

cos⁡〖2a=cos^2⁡a-〗  sin^2⁡a=2 cos^2⁡a-1=1-2 〖sin〗^2⁡a 

tan⁡2a=2tan⁡a/(1-tan^2⁡a ) 

Công thức hạ bậc 

cos^2 a=(1+cos2a)/2 

sin^2 a=(1-cos2a)/2 

3. Công thức biến đổi tích thành tổng

cos acos⁡b=1/2 [cos⁡(a-b)+cos⁡(a+b) ] 

sin⁡asin⁡b =1/2 [cos⁡(a-b)-cos⁡(a+b) ] □( ) 

sin acos⁡b=1/2[sin(a-b)+sin(a+b)] 

4. Công thức biến đổi tổng thành tích

cosu+cosv=2cos (u+v)/2 cos (u-v)/2 

cos⁡u-cos⁡v=-2sin⁡(u+v)/2 sin⁡(u-v)/2 

sin⁡u+sin⁡v=2sin⁡(u+v)/2 cos⁡(u-v)/2 

sin⁡u-sin⁡v=2cos⁡(u+v)/2 sin⁡(u-v)/2 

LUYỆN TẬP 

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1 

DẠNG 1: Tính giá trị của biểu thức. 

 Rút gọn biểu thức lượng giác 

Phương pháp giải:  

Sử dụng các công thức lượng giác và các góc liên quan đặc biệt, biến đổi và tính giá trị biểu thức. 

Bài 1. Tính giá trị của biểu thức 

"a)" A=cos⁡〖π/30〗  cos⁡〖π/5〗+sin⁡〖π/30〗  sin⁡〖π/5〗 

=cos⁡(π/30-π/5)=cos⁡(-π/6)=√3/2 

"b)" B=(tan⁡〖225°〗-cot⁡〖81°〗.cot⁡69°)/(cot⁡〖261°〗+tan⁡〖201°〗 ) 

=(tan⁡(180^0+45^0 )-tan⁡〖9^0 〗.cot⁡6 9^0)/(cot⁡(180^0+81^0 )+tan⁡(180^0+21^0 ) ) 

=(1-tan⁡〖9^0 〗.tan⁡2 1^0)/(tan⁡〖9^0 〗+tan⁡2 1^0 )=1/tan⁡(9^0+21^0 ) =1/(tan⁡3 0^0 )=√3 

"Bài 2. Tính giá trị của biểu thức :    a)" M=cos⁡〖2π/7〗+cos⁡〖4π/7〗+cos⁡〖6π/7〗 

Giải: 

"Áp dụng công thức"  sin⁡a-sin⁡b=2.cos⁡〖(a+b)/2〗.sin⁡〖(a-b)/2〗 

"Ta có" 2 sin⁡〖π/7〗.M=2.cos⁡〖2π/7〗.sin⁡〖π/7〗+2.cos⁡〖4π/7〗.sin⁡〖π/7〗+2.cos⁡〖6π/7〗.sin⁡〖π/7〗 

=sin⁡〖3π/7〗-sin⁡〖π/7〗+sin⁡〖5π/7〗-sin⁡〖3π/7〗+sin⁡〖7π/7〗-sin⁡〖5π/7〗=-sin⁡〖π/7〗+sin⁡π=-sin⁡〖π/7〗 

"Vậy giá trị biểu thức" M=-1/2. 

"b) Cho góc " α" thỏa mãn " 0<α<π/2 " và "  sin⁡α=2/3 ". Tính" P=(1+sin⁡2 α+cos⁡2 α)/(sin⁡α+cos⁡α ). 

Giải: 

P=(2 sin⁡α  cos⁡α+2 〖cos〗^2⁡α)/(sin⁡α+cos⁡α )=(2 cos⁡α (sin⁡α+cos⁡α ))/(sin⁡α+cos⁡α )=2 cos⁡α 

"Từ hệ thức "  〖sin〗^2⁡α+〖cos〗^2⁡α=1", suy ra"  cos⁡α=±√(1-〖sin〗^2⁡α )=±√5/3 

"Do " 0<α<π/2 " nên ta chọn"  cos⁡α=√5/3⇒P=(2√5)/3. 

"Bài 3. Biết "  sin⁡(π-α)=-3/5 " và " π<α<3π/2 ". Tính" P=sin⁡(α+π/6). 

Giải: 

"Ta có" -3/5=sin⁡(π-α)=sin⁡α 

"Từ hệ thức "  〖sin〗^2⁡α+〖cos〗^2⁡α=1", suy ra"  cos⁡α=±√(1-〖sin〗^2⁡α )=±4/5 

"Do " π<α<3π/2 " nên ta chọn"  cos⁡α=-4/5 

"Suy ra"  

P=sin⁡(α+π/6)=√3/2  sin⁡α+1/2  cos⁡α=√3/2 (-3/5)+1/2 (-4/5)=(-4-3√3)/10. 

"Bài 4. Cho góc " α" thỏa mãn "  tan⁡α=-4/3 " và " α∈├ 3π/2;2π┤". Tính" P=sin⁡〖α/2〗+cos⁡〖α/2〗. 

Giải: 

"Ta có " P^2=1+sin⁡α 

"Với" α∈├ 3π/2;2π┤⇒α/2∈├ 3π/4;π┤ 

"Khi đó " {█(&0≤sin⁡〖α/2〗<√2/2@&-1≤cos⁡〖α/2〗<-√2/2)┤" suy ra" P=sin⁡〖α/2〗+cos⁡〖α/2〗<0 

"Từ hệ thức "  〖sin〗^2⁡α+〖cos〗^2⁡α=1" suy ra"  〖sin〗^2⁡α=1-〖cos〗^2⁡α=1-1/(1+〖tan〗^2⁡α )=16/25 

"Vì " α∈├ 3π/2;2π┤" nên ta chọn"  sin⁡α=-4/5 

"Thay "  sin⁡α=-4/5 " vào " P^2 ", ta được" P^2=1/5 

"Suy ra" P=-√5/5. 

Bài 5. Biết rằng tan⁡a=1/2 (0<a<90^0 ) và tan⁡b=-1/3 (90^0<b<180^0 ) thì biểu thức cos⁡(2a-b) có giá trị bằng bao nhiêu? 

Giải: 

"Ta có "  cos⁡2 a=(1-〖tan〗^2⁡a)/(1+〖tan〗^2⁡a )=(1-(1/2)^2)/(1+(1/2)^2 )=3/5 " suy ra"  sin⁡2 a=√(1-〖cos〗^2⁡2 a)=4/5 

"Lại có " 1+〖tan〗^2⁡b=1/〖cos〗^2⁡b ⇒cos⁡b=-1/√(1+〖tan〗^2⁡b )=-3/√10 " vì" 90^0<b<180^0 

"Mặt khác"  sin⁡b=tan⁡b.cos⁡b=(-1/3).(-3/√10)=1/√10 

"Khi đó"  cos⁡(2a-b)=cos⁡2 a.cos⁡b+sin⁡2 a.sin⁡b=3/5.(-3/√10)+4/5. 1/√10=-1/√10 

"Bài 6. Cho " α+β+γ=π/2 " và "  cot⁡α+cot⁡γ=2 cot⁡β ". Hãy tính giá trị" P=cot⁡α.cot⁡γ 

Giải: 

"Từ giả thiết, ta có" α+β+γ=π/2⇒β=π/2-(α+γ) 

⇒cot⁡α+cot⁡γ=2 cot⁡β=2.cot⁡[π/2-(α+γ)]=2.tan⁡(α+γ)=2.(tan⁡α+tan⁡γ)/(1-tan⁡α.tan⁡γ ) 

"Mặt khác"   ( tan⁡α+tan⁡γ)/(1-tan⁡α.tan⁡γ )=(1/cot⁡α +1/cot⁡γ )/(1-1/cot⁡α .1/cot⁡γ )=(cot⁡α+cot⁡γ)/(cot⁡α.cot⁡γ-1) " nên suy ra" 

cot⁡α+cot⁡γ=2.(cot⁡α+cot⁡γ)/(cot⁡α.cot⁡γ-1)⇔cot⁡α.cot⁡γ-1=2⇔cot⁡α.cot⁡γ=3. 

Bài 7. Nếu tan⁡α và tan⁡β là hai nghiệm của phương trình x^2-px+q=0 (q≠0) thì giá trị biểu thức P=〖cos〗^2⁡(α+β)+p sin⁡(α+β).cos⁡(α+β)+q 〖sin〗^2⁡(α+β) bằng bao nhiêu? 

Giải: 

Vì tan⁡α,tan⁡β là hai nghiệm của phương trình x^2-px+q=0 nên theo định lí Viet, ta có  

{█(tan⁡α+tan⁡β=p@tan⁡α.tan⁡β=q)┤⇒tan⁡(α+β)=(tan⁡α+tan⁡β)/(1-tan⁡α.tan⁡β )=p/(1-q) 

Khi đó P=〖cos〗^2⁡(α+β).[1+p.tan⁡(α+β)+q.〖tan〗^2⁡(α+β) ] 

P=〖cos〗^2⁡(α+β).[1+p.tan⁡(α+β)+q.〖tan〗^2⁡(α+β) ] 

=(1+p.tan⁡(α+β)+q.〖tan〗^2⁡(α+β))/(1+〖tan〗^2⁡(α+β) )=(1+p.p/(1-q)+q.(p/(1-q))^2)/(1+(p/(1-q))^2 ) 

=((1-q)^2+p^2 (1-q)+q.p^2)/((1-q)^2+p^2 )=((1-q)^2+p^2-p^2.q+q.p^2)/((1-q)^2+p^2 )=1. 

Bài 8. Trong Hình vẽ sau, ba điểm M, N, P nằm ở đầu các cánh quạt tua-bin gió. Biết các cánh quạt dài 31m, độ cao của điểm M so với mặt đất là 30m, góc giữa các cánh quạt là 2π/3 và số đo góc (OA, OM) là α. 

1. a) Tính sinαvà cosα.
2. b) Tính sin của các góc lượng giác (OA, ON) và (OA, OP), từ đó tính chiều cao của các điểm N và P so với mặt đất (theo đơn vị mét). Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Giải: 

1. a)  Trong hệ trục tọa độ xOy như hình vẽ, ta có điểm M nằm ở góc phần tư thứ IV

⇒sinα=(-30)/31 

0^o<(OA,OM)=α<90^o 

⇒cos⁡α=√(1-((-30)/31)^2 )=√61/31 

"b) " (OA,OP)=2π/3-|α|" (Chú ý:" α<0) 

(OA,ON) = (OA,OP) + (OP,ON) =(2π/3-|α|)+2π/3=4π/3-|α| 

sin⁡(OA,OP)=sin(2π/3+α)=sin 2π/3  cosα+cos 2π/3  sin α≈0,7 

sin⁡(OA,ON)=sin(4π/3+α)=sin 4π/3  cos α+cos 4π/3  sin α≈0,27 

"Chiều cao điểm " N" so với mặt đất là:" 60+31.|sin(4π/3-α)|≈68,37 m 

"Chiều cao điểm " P" so với mặt đất là:" 60+31.sin(2π/3+α)≈81,7 m. 

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2 

...