Giáo án PPT dạy thêm Toán 12 cánh diều Bài 3: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

CHÀO MỪNG CẢ LỚP ĐẾN VỚI BÀI HỌC MỚI!

KHỞI ĐỘNG

Một lớp học có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với chiều rộng là 5 m, chiều dài là 10 m và chiều cao là 4 m. Xét hệ trục tọa độ có gốc trùng với một góc phòng học và mặt phẳng trùng với mặt sàn, đơn vị đo được lấy theo mét. Một chiếc đèn được treo ở vị trí điểm biết . Hãy tìm tọa độ của điểm treo đèn.

Giải:

Ta có:

Khi đó:

Ta có:

Suy ra:

Giải:

Gọi

Ta có:

BÀI 3. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ

CHƯƠNG II. TOẠ ĐỘ CỦA VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

HỆ THỐNG

KIẾN THỨC

1. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ

Định lí: Nếu và thì

;

;

với .

Ví dụ: Cho . Tính tọa độ của mỗi vectơ sau: a) b)

Giải:

a) Ta có:

Do đó:

Vậy .

b) Ta có: ; .

Do đó:

Vậy

Nhận xét:

Hai vectơ  cùng phương khi và chỉ khi có một số thực sao cho .

2. Tọa độ trung điểm đoạn thẳng, tọa độ trọng tâm tam giác

Định lí

• Cho hai điểm và . Nếu là trung điểm của đoạn thẳng thì
• Cho tam giác có . Nếu là trọng tâm tam giác thì

Ví dụ: Cho tam giác có . Gọi là trung điểm của , là trọng tâm của tam giác . Tìm tọa độ của và .

Giải:

• Do là trung điểm của nên
• Do là trọng tâm của tam giác nên

3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Định lí: Nếu thì .

Chú ý:

- Nếu   thì

- Nếu và thì

- Với hai vectơ và khác vectơ ta có:

  và vuông góc với nhau khi và chỉ khi

Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ , cho .

a) Tính độ dài đoạn thẳng , biết là trung điểm của .

b) Tính .

Giải:

a) Vì là trung điểm của nên . Khi đó, .

Suy ra .

b) Ta có: ; .

4. Cách tìm tọa độ của một vectơ vuông góc với hai vectơ cho trước

Định lí

Cho hai vectơ và không cùng phương.

Khi đó, vectơ vuông góc với cả hai vec tơ và .   

Chú ý:

• Vectơ  trong định lí trên còn được gọi là tích có hướng của hai vectơ và , kí hiệu là .
• Để thuận tiện trong cách viết, ta quy ước:
• Hai vectơ không cùng phương khi và chỉ khi vec tơ 

Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai vectơ và . Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ  khác  vuông góc với cả hai vectơ và .

Giải:

Ta có:

Chọn .

Theo định lí trên, vectơ vuông góc với cả hai vectơ  và .

LUYỆN

TẬP

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

Phương pháp giải:

• Sử dụng khái niệm tọa độ của một điểm, điểm thuộc các trục tọa độ, điểm thuộc các mặt phẳng tọa độ và các tọa độ điểm đặc biệt như:

DẠNG 1: Tìm tọa độ của điểm

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

Phương pháp giải:

• Sử dụng tính chất: Nếu và thì

DẠNG 1: Tìm tọa độ của điểm

Bài 1. Cho . Gọi là trung điểm của . Tìm tọa độ của điểm .

Giải:

Vậy .

Giải:

Bài 2. Cho tam giác , trong đó . Gọi là trọng tâm của tam giác Tìm tọa độ của điểm

Vậy .

Bài 3. Cho tam giác , trong đó . Tìm tọa độ điểm biết là trọng tâm của tam giác .

Giải:

Khi đó,

Vậy .

Bài 4. Có 3 con chim đậu trên cành cây tại vị trí , trong đó là trung điểm của như hình dưới đây. Tìm tọa độ của con chim ở vị trí biết và .

Giải:

Khi đó,

Vậy con chim ở vị trí có tọa độ là .

Bài 5. Trong không gian , cho hai điểm . Tìm tọa độ điểm sao cho .

Giải:

Gọi .

Ta có:

Bài 6. Trong không gian , cho hai điểm . Gọi là điểm thuộc đường thẳng . Tìm tọa độ điểm sao cho .

Giải:

Gọi

Khi đó,

suy ra

TH1:

Bài 6. Trong không gian , cho hai điểm . Gọi là điểm thuộc đường thẳng . Tìm tọa độ điểm sao cho .

Giải:

TH2:

Bài 7. Trong không gian với hệ trục tọa độ cho tứ diện có và . Gọi là điểm nằm trên mặt phẳng sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm .

Giải:

Gọi là trọng tâm của tứ diện. Khi đó:

Ta có:

Khi đó .

Bài 7. Trong không gian với hệ trục tọa độ cho tứ diện có và . Gọi là điểm nằm trên mặt phẳng sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm .

Giải:

Ta có

Do đó, đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi ngắn nhất.

Suy ra, là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng nên .

Vậy

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất:

• Nếu  thì
• Nếu và thì

DẠNG 2: Tìm độ dài đoạn thẳng, vectơ

Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm . Tính độ dài đoạn thẳng .

Giải:

Ta có:  .

Khi đó, .

Vậy .

Giải:

Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm . Tính chu vi tam giác .

Ta có:   

;

;

;

Khi đó, chu vi của tam giác bằng .

Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai vectơ , . Tính:

a)

b)

Giải:

a) Ta có:

Khi đó, .

b) Ta có:

Khi đó, .

Bài 4. Trong không gian , cho điểm . Tính tổng khoảng cách từ đến ba trục tọa độ.

Giải:

Hình chiếu của lên trục là nên .

Hình chiếu của lên trục là nên .

Hình chiếu của lên trục là nên .

Tổng khoảng cách từ đến ba trục tọa độ bằng .

Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ , cho tam giác biết . Tìm các giá trị của để tam giác đều.

Giải:

Ta có:  

Khi đó

Để tam giác đều thì

hoặc .

Vậy hoặc .

Bài 6. Một căn phòng có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với chiều rộng là 4 m, chiều dài là 5 m và chiều cao là 4 m. Xét hệ trục tọa độ có gốc trùng với một góc phòng học và mặt phẳng trùng với mặt sàn, đơn vị đo được lấy theo mét.

Một chiếc đèn được treo ở vị trí chính giữa của trần nhà (vị trí và một chiếc TV được đặt ở vị trí ( là trung điểm của , là trung điểm của ) như hình dưới đây. Xác định khoảng cách giữa chiếc đèn và TV.

Giải:

Ta có:

Suy ra  

Áp dụng quy tắc hình bình hành:

Áp dụng quy tắc hình bình hành:

Vì là trung điểm của nên

Giải:

Áp dụng quy tắc hình bình hành

Vì là trung điểm của nên

Gọi .

Ta có:  

Theo đề bài:  

Giải:

Vậy khoảng cách từ chiếc đèn đến TV là

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 3

--------------- Còn tiếp ---------------