Giáo án PPT dạy thêm Toán 12 cánh diều Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

CHÀO MỪNG TẤT CẢ CÁC EM ĐẾN VỚI TIẾT HỌC!

Bài toán:

Khu chung cư Times City có 250 căn hộ cho thuê. Nếu người ta cho thuê căn hộ thì lợi nhuận hàng tháng, tính theo triệu đồng, được cho bởi:

Hỏi lợi nhuận tối đã họ có thể đạt được là bao nhiêu?

KHỞI ĐỘNG

Trả lời:

Ta có:

Xét hàm số

Ta có:

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy lợi nhuận tối đa họ có thể đạt là .

BÀI 2. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

HỆ THỐNG

KIẾN THỨC

1. Định nghĩa

Định nghĩa

Cho hàm số xác định trên tập .

• Số được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên , kí hiệu nếu với mọi và tồn tại sao cho .
• Số được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên , kí hiệu nếu với mọi và tồn tại sao cho .

Giải:

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn .

Xét hàm số trên đoạn .

Vì với mọi nên với mọi

Suy ra với mọi

Ta có: nên ; nên .

Chú ý: Khi tìm giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) của hàm số mà không chỉ rõ tập thì ta tìm giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) của hàm số đó trên cả tập xác định của nó.

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Xét hàm số

Tập xác định của hàm số là:

Vì với mọi

Mặt khác và

Do đó và .

Giải:

2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

của hàm số bằng đạo hàm

Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng, đoạn hay nửa khoảng, ta có thể lập bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp đó. Căn cứ vào bảng biến thiên, ta tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số.

trên nửa khoảng .

Ta có bảng biến thiên như sau:

Giải:

Nhận xét: Người ta chứng minh được rằng: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên đoạn đó.

Giả sử hàm số liên tục trên đoạn và có đạo hàm trên khoảng , có thể trừ một số hữu hạn điểm. Nếu chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc khoảng thì ta có quy tắc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn như sau:

• Bước 1: Tìm các điểm thuộc khoảng mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
• Bước 2: Tính và .
• Bước 3: So sánh các giá trị tìm được ở Bước 2.

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn .

Xét hàm số trên đoạn

Ta có: ;

Ta thấy và thuộc đoạn

Khi đó, ta có:

Vậy tại ;

tại .

Giải:

Ví dụ 3: Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là , với (s) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và (m) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Trong khoảng thời gian 6 giây đầu tiên, vận tốc (m/s) của chất điểm đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu?

Ta có: . Xét hàm số

Ta có:

Ta có:

Ta thấy

Bảng biến thiên của là:

Vậy vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất trong khoảng thời gian 6 giây đầu tiên là 29 m/s.

Giải:

LUYỆN

TẬP

DẠNG 1: Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

Phương pháp giải:

Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hàm số trên một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng, ta có thể lập bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp đó. Căn cứ vào bảng biến thiên, ta tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số.

• Cho hàm số liên tục trên đoạn
• Tìm tại đó bằng không hoặc không xác định.
• Tính .
• Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất với .

Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

Giải:

Tập xác định của hàm số là

Ta có: với mọi

Không tồn tại thoả mãn.

Vậy hàm số đã cho không có giá trị lớn nhất.

Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

Giải:

- Tập xác định của hàm số là

Vậy hàm số không có giá trị lớn nhất trên .

Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

Giải:

Bảng biến thiên như sau:

Vậy hàm số có giá trị lớn nhất bằng khi .

Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

Giải:

hoặc

Ta thấy

Bảng biến thiên như sau:

Vậy hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng khi .

Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

Giải:

Ta có bảng biến thiên như sau:

Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

Giải:

Xét hàm số với mọi

Ta có:

hoặc

Ta thấy và đều thuộc đoạn

Bảng biến thiên như sau:

Vậy hàm số có giá trị lớn nhất bằng 156 khi và có giá trị nhỏ nhất bằng – 4 khi .

Giải:

hoặc

Ta thấy thuộc đoạn

Bảng biến thiên như sau:

Vậy hàm số có giá trị lớn nhất bằng 7 khi và có giá trị nhỏ nhất bằng 6 khi .

Giải:

hoặc

Ta thấy thuộc đoạn

Bảng biến thiên như sau:

Vậy hàm số có giá trị lớn nhất bằng 5 khi và có giá trị nhỏ nhất bằng 4 khi .

Giải:

Bảng biến thiên như sau:

Giải:

Giải:

Xét hàm số với mọi

Ta có:

Suy ra với mọi

Ta có:

.

Bảng biến thiên như sau:

Giải:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, giá trị lớn nhất của hàm số khi ; giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng khi và

Ta có:

Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là .

Bài 4. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn .

Giải:

Đặt

Ta có: với mọi

Suy ra hàm số nghịch biến trên đoạn

Với mọi

Ta sẽ tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn

Quan sát đồ thị ta thấy, trên đoạn , hàm số nghịch biến

Do đó .

DẠNG 2: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2

Ta thường sử dụng kết quả sau:

- Nếu đồng biến trên thì

- Nếu nghịch biến trên thì

Bài 1. Tìm để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng 0.

Giải:

Xét hàm số

- Tập xác định của hàm số là

- Ta có: hoặc

Vì thỏa mãn

Ta có: và

Do đó, trên đoạn hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại

Ta có:

Vậy , hàm số đã cho đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn .

Giải:

Phương trình có nghiệm khác khi và chỉ khi:

Khi đó hàm số đồng biến trên

Do đó, trên đoạn hàm số đạt giá trị lớn nhất tại

Giải:

Giải:

Tập xác định của hàm số là

Giả sử là giá trị giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) tại

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:

Giải:

Vậy , thì hàm số đã cho thoả mãn điều kiện bài toán.

Bài 4. Tìm tất cả các giá trị của để hàm số đạt giá trị

Giải:

Xét hàm số liên tục trên đoạn

Ta có:

Khi đó:

Suy ra

Ta có:

Bài 4. Tìm tất cả các giá trị của để hàm số đạt giá trị

Giải:

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 3

Đưa yêu cầu bài toán về mối quan hệ hàm số, lập bảng biến thiên để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số với điều kiện cho trước.

Chú ý: Ta cũng có thể sử dụng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

DẠNG 3: Ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số vào một số bài toán thực tế

Bài 1. Người ta làm định làm một cái hộp khối trụ bằng tôn có thể tích V cho trước. Tìm bán kính đáy r và chiều cao h của hình trụ sao cho tốn ít nguyên liệu nhất.

Giải:

Diện tích toàn phần của hình trụ là:

Giải:

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Bài 2. Chu vi của một tam giác là 16 cm, độ dài một cạnh tam giác là 6 cm. Tìm độ dài hai cạnh còn lại của tam giác sao cho tam giác có diện tích lớn nhất.

Giải:

Gọi là độ dài hai cạnh còn lại của tam giác ()

Ta có:

Diện tích tam giác là:

Đặt

Giải:

đạt giá trị lớn nhất trên khoảng khi và chỉ khi làm số đạt giá trị lớn nhất trên khoảng .

Ta có:

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Tam giác có diện tích lớn nhất khi cm, cm

Khi đó diện tích tam giác là:

cm2.

Bài 3. Một nhà máy sản xuất được 60 000 sản phẩm trong một ngày và tổng chi phí sản xuất sản phẩm được cho bởi:

Hỏi nhà máy nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm mỗi ngày để chi phí sản xuất là nhỏ nhất?

Giải:

Xét hàm số:

--------------- Còn tiếp ---------------