Giáo án dạy thêm Toán 12 cánh diều Bài 3: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

HOẠT ĐỘNG CỦA GV - HS

DỰ KIẾN SẢN PHẨM

Bước 1: GV chuyển giao nhiệm vụ học tập

- GV đặt câu hỏi và cùng HS nhắc lại kiến thức phần lý thuyết cần ghi nhớ trong bài “Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ” trước khi thực hiện các phiếu bài tập.

1. Nhắc lại biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ.

2. Nhắc lại tọa độ trung điểm đoạn thẳng, tọa độ trọng tâm tam giác.

3.Nhắc lại biểu thức tọa độ của tích vô hướng.

4. Nhắc lại cách tìm tọa độ của một vectơ vuông góc với hai vectơ cho trước.

Bước 2: Học sinh thực hiện nhiệm vụ học tập

- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

Bước 3: Báo cáo kết quả hoạt động, thảo luận

Đại diện một số HS đứng tại chỗ trình bày kết quả.

Bước 4: Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập 

GV đưa ra nhận xét, đánh giá, chuẩn kiến thức.

1. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ

Định lí

Nếu và thì

;

;

với .

Ví dụ: Cho . Tính tọa độ của mỗi vectơ sau:

a)

b)

Giải

a) Ta có:  . Do đó:

.

Vậy .

b) Ta có:

; . Do đó:

Vậy

Nhận xét:

Hai vectơ   cùng phương khi và chỉ khi có một số thực sao cho .

2. Tọa độ trung điểm đoạn thẳng, tọa độ trọng tâm tam giác

Định lí

- Cho hai điểm và . Nếu là trung điểm của đoạn thẳng thì

- Cho tam giác có . Nếu G  là trọng tâm tam giác thì

Ví dụ: Cho tam giác   có
. Gọi là trung điểm của , là trọng tâm của tam giác . Tìm tọa độ của và .

Giải

+ Do là trung điểm của nên

;

;

.

Vậy .

+ Do là trọng tâm của tam giác nên

;

;

.

Vậy .

3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Định lí

Nếu thì .

Chú ý:

- Nếu   thì

- Nếu và thì

.

- Với hai vectơ và khác vectơ ta có:

+   và vuông góc với nhau khi và chỉ khi .

+

Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ , cho
 .

a) Tính độ dài đoạn thẳng , biết là trung điểm của .

b) Tính .

Giải

a) Vì là trung điểm của nên . Khi đó, . 

Suy ra, .

b) Ta có: 

;

;

Khi đó:

Vậy

4. Cách tìm tọa độ của một vectơ vuông góc với hai vectơ cho trước

Định lí

Cho hai vectơ và không cùng phương.

Khi đó, vectơ vuông góc với cả hai vec tơ   và  .   

Chú ý:

- Vectơ   trong định lí trên còn được gọi là tích có hướng của hai vectơ   và  , kí hiệu là  .

- Để thuận tiện trong cách viết, ta quy ước:

với là các số thực.

Khi đó, với hai vectơ 
và , ta có:

 .

- Hai vectơ   không cùng phương khi và chỉ khi vec tơ  

Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai vectơ   và  . Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ   khác   vuông góc với cả hai vectơ   và  .

Giải

Ta có:

Chọn  . Theo định lí trên, vec tơ   vuông góc với cả hai vectơ   và  .

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Tìm tọa độ của điểm

Phương pháp giải:

- Sử dụng khái niệm tọa độ của một điểm, điểm thuộc các trục tọa độ, điểm thuộc các mặt phẳng tọa độ và các tọa độ điểm đặc biệt như:

• Trung điểm  

• Trọng tâm tam giác   

- Sử dụng tính chất:  Nếu và thì

• ;

• ;

• với .

Bài 1. Cho . Gọi là trung điểm của . Tìm tọa độ của điểm .

Bài 2. Cho tam giác , trong đó . Gọi là trọng tâm của tam giác Tìm tọa độ của điểm

Bài 3. Cho tam giác , trong đó . Tìm tọa độ điểm biết là trọng tâm của tam giác .

Bài 4. Có 3 con chim đậu trên cành cây tại vị trí , trong đó là trung điểm của như hình dưới đây. Tìm tọa độ của con chim ở vị trí biết và .

Bài 5. Trong không gian , cho hai điểm . Tìm tọa độ điểm sao cho .

Bài 6. Trong không gian , cho hai điểm . Gọi là điểm thuộc đường thẳng . Tìm tọa độ điểm sao cho .

Bài 7. Trong không gian với hệ trục tọa độ cho tứ diện có  và . Gọi là điểm nằm trên mặt phẳng sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm . 

DẠNG 1:

Bài 1. 

Vì là trung điểm của nên

Vậy

Bài 2. 

Vì là trọng tâm tam giác nên

Vậy

Bài 3. 

Vì là trọng tâm tam giác nên

Khi đó,

Vậy .

Bài 4.

Vì là trung điểm của nên . 

Khi đó,

Vậy con chim ở vị trí có tọa độ là .

Bài 5. 

Gọi .

Ta có:

Để thì

Vậy .

Bài 6.

Gọi  

Khi đó,

TH1:  

     Suy ra  

TH2: 

   Suy ra .

Vậy   hoặc .

Bài 7. 

Gọi là trọng tâm của tứ diện. Khi đó:

Ta có:

Khi đó .

Ta có

Do đó, đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi ngắn nhất. 

Suy ra, là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng nên .

Vậy

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2

DẠNG 2: Tìm độ dài đoạn thẳng, vectơ

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất: 

- Nếu   thì

- Nếu và thì

.

Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm . Tính độ dài đoạn thẳng  .

Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm . Tính chu vi tam giác .

Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai vectơ  
. Tính:

a)  

b)

Bài 4. Trong không gian , cho điểm . Tính tổng khoảng cách từ đến ba trục tọa độ.

Bài 5.  Trong không gian với hệ tọa độ , cho tam giác biết . Tìm các giá trị của để tam giác đều.

Bài 6. Một căn phòng có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với chiều rộng là 4 m, chiều dài là 5 m và chiều cao là 4 m. Xét hệ trục tọa độ có gốc trùng với một góc phòng học và mặt phẳng trùng với mặt sàn, đơn vị đo được lấy theo mét. Một chiếc đèn được treo ở vị trí chính giữa của trần nhà (vị trí và một chiếc TV được đặt ở vị trí ( là trung điểm của , là trung điểm của ) như hình dưới đây. Xác định khoảng cách giữa chiếc đèn và TV.