Giáo án PPT dạy thêm Toán 12 cánh diều Bài 1: Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian

CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN VỚI TIẾT HỌC

HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG

1. Hình nào sau đây biểu diễn các vectơ trong không gian?

Đáp án: Cả hình và hình đều là hình biểu diễn vectơ trong không gian

KHỞI ĐỘNG

2. Cho hình hộp chữ nhật (hình vẽ)

a) Tìm các vectơ bằng vectơ ;

b) Tìm các vectơ đối của vectơ ;

c) Giá của ba vectơ có cùng nằm trong một mặt phẳng không?

a) Vì là hình hộp nên là hình bình hành

Khi đó và

Ta có vectơ và cùng hướng và có độ dài bằng nhau nên

Tương tự ta cũng có và

b) Ta có: vectơ và vectơ có độ dài bằng nhau và ngược hướng nên là vectơ đối của vectơ .

Vì là hình bình hành nên vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ .

Suy ra là vectơ đối của vectơ .

Tương tự, ta cũng có và là vectơ đối của vectơ .

c) Giá của ba vectơ lần lượt là ba đường thẳng

Vì bốn điểm không đồng phẳng nên ba đường thẳng không cùng nằm trên một mặt phẳng.

BÀI 1. VECTƠ VÀ

CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ

TRONG KHÔNG GIAN

CHƯƠNG II. TOẠ ĐỘ CỦA VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

HỆ THỐNG

KIẾN THỨC

1. Khái niệm vectơ trong không gian

Chú ý 1:

• Cho đoạn thẳng trong không gian. Nếu ta chọn điểm đầu là , điểm cuối là thì ta có một vectơ, kí hiệu là đọc là “vectơ ”.
• Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ, vectơ còn được kí hiệu là
• Các khái niệm có liên quan đến vectơ trong không gian như: giá của vectơ, độ dài của vectơ, vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng, vectơ – không, hai vectơ bằng nhau, hai vectơ đối nhau, ... được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng.

Khái niệm: Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.

Ví dụ: Trong không gian cho hình hộp . Hãy chỉ ra ba vectơ có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của hình hộp sao cho ba vectơ đó:

a) Bằng vectơ b) Là vectơ đối của vectơ

a) là hình bình hành có:

và nên

Tương tự, ta có

và nên

và nên

b) Vì các vectơ ngược hướng với vectơ và (tính chất hình hộp) nên ba vectơ là ba vectơ đối của vectơ .

Giải:

Chú ý 2:

Cho điểm và vectơ . Khi đó tồn tại duy nhất điểm trong không gian sao cho .

2. Các phép toán vectơ trong không gian

a) Tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian

• Tổng hai vectơ trong không gian
• Phép lấy tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.
• Phép cộng vectơ trong không gian cũng có các tính chất như phép cộng vectơ trong mặt phẳng, chẳng hạn: Phép cộng vectơ trong không gian cũng có các tính chất giao hoán, kết hợp, cộng với vectơ – không.
• Khi thực hiện phép cộng vectơ trong không gian, ta vẫn có thể áp dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành như đối với vectơ trong mặt phẳng.

Đối với vectơ trong không gian, ta cũng có các quy tắc sau:

• Với ba điểm trong không gian, ta có:
• Nếu là hình bình hành thì:
• Nếu là hình hộp thì:

Ví dụ: a) Cho tứ diện . Chứng minh rằng

Giải:

Theo quy tắc ba điểm trong không gian, ta có:

Áp dụng tính chất phép cộng vectơ trong không gian, ta được:

Ví dụ: b) Cho hình hộp . Chứng minh rằng

Giải:

Vì là hình hộp nên tứ giác là hình bình hành

Ta có: và

Áp dụng quy tắc hình bình hộp, ta có:

• Hiệu hai vectơ trong không gian

Ví dụ: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật. Gọi lần lượt là trung điểm của và . Chứng minh rằng

a) và là hai vectơ đối nhau; b) .

Giải:

a) Vì tứ giác là hình chữ nhật nên song song với và

Suy ra và song song với .

Hai vectơ và có cùng độ đài và ngược hướng nên chúng là hai vectơ đối nhau.

Ví dụ: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật. Gọi lần lượt là trung điểm của và . Chứng minh rằng

a) và là hai vectơ đối nhau; b) .

b) Từ câu , ta có:

Khi đó:

Vậy .

Giải:

b) Tích của một số với một vectơ trong không gian.

Định nghĩa

Cho số thực và vectơ là một vectơ. Tích của số với vectơ là một vectơ, kí hiệu là , được xác định như sau:

• Cùng hướng với vectơ bnếu , ngược hướng với vectơ nếu
• Có độ dài bằng

• Phép lấy tích của một số với một vectơ gọi là phép nhân một số với một vectơ.
• Phép nhân một số với một vectơ trong không gian có tính chất sau:
• Hai vectơ bất kì khác là cùng phương khi vào chỉ khi có một số thực sao cho .

Chú ý:

Ví dụ: Cho hình lăng trụ tam giác . Gọi lần lượt là trung điểm của và . Chứng minh rằng

Giải:

Vì lần lượt là trung điểm của và nên là đường trung bình của tam giác .

Suy ra song song với và

Tứ giác là hình bình hành nên song song với và

Do đó song song với suy ra

Vì hai vectơ và cùng hướng nên

Vậy .

3. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

• Góc giữa hai vectơ

Ví dụ: Cho hình lập phương . Xác định góc giữa hai vectơ .

Vì là hình lập phương nên tứ giác là hình vuông

Suy ra

Khi đó

Giải:

• Tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian có các tính chất sau:

Với các vectơ bất kì và số thực tuỳ ý, ta có:

• (tính chất giao hoán)
• (tính chất phân phối)

Chú ý:

Ví dụ: Cho tứ diện đều có cạnh bằng và là trung điểm của .

a) Tính các tích vô hướng của , và ;

b) Tính góc giữa hai vectơ và .

Giải:

a) Vì là tứ diện đều nên tam giác là tam giác đều.

Suy ra

Xét tam giác có

Ta có:

Giải:

Vì là trung điểm của nên vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của tam giác đều

Suy ra

Xét tam giác đều có và

Ta có:

Giải:

Vì là trung điểm của nên là đường cao tam giác đều

Suy ra

Xét tam giác đều có và

Ta có:

Giải:

b) Ta có:

Vì là trung điểm của nên lần lượt là các đường cao của tam giác đều và

Suy ra và

Khi đó và

Suy ra

Vậy .

LUYỆN TẬP

DẠNG 1: Biểu diễn vectơ

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

Phương pháp giải:

Để biểu diễn vectơ, ta sử dụng các quy tắc sau:

• Với ba điểm trong không gian, ta có: (Quy tắc ba điểm)
• Nếu là hình bình hành thì: (Quy tắc hình bình hành)
• Nếu là hình hộp thì: (Quy tắc hình hộp)

Bài 1. Cho tứ diện , gọi là trọng tâm của tam giác . Biểu diễn vectơ theo ba vectơ .

Giải:

Bài 2. Cho tứ diện , gọi lần lượt là trung điểm của và . Đặt

. Tính theo ba vectơ .

Giải:

Vì là trung điểm của và nên

Ta có:

Bài 3. Cho hình lăng trụ . Đặt . Gọi là trọng tâm của tam giác . Biểu diễn vectơ theo ba vectơ .

Giải:

Gọi là trung điểm của

Ta có:

Vậy .

Bài 4. Cho hình lăng trụ . Gọi là trung điểm của . Đặt

. Biểu diễn vectơ theo ba vectơ .

Giải:

--------------- Còn tiếp ---------------