Giáo án Toán 11 kết nối Bài 23: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS thảo luận thực hiện HĐ 1.

GV gợi ý:

+ Trong quá trình đóng – mở cánh cửa, đường thẳng AB (đi qua hai bản lề) có thay đổi hay không?

+ Trong quá trình đóng – mở cánh cửa, đường thẳng BC thay đổi như thế nào và góc giữa BC và AB bằng bao nhiêu?

- GV giới thiệu: khi AB vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) thì ta nói đường thẳng AB vuông góc với mặt phẳng (P).

+ HS khái quát, phát biểu định nghĩa.

- GV nêu các cách thể hiện quan hệ vuông góc.

- HS suy nghĩ trả lời Câu hỏi (SGK).

+ Nếu  mà không cắt (P) thì  có thể có vị trí gì so với (P)? Điều đó có trái với giả thiết không.

- HS thực hiện HĐ 2, trả lời câu hỏi a, thực hành làm mô hình như câu b.

+ GV nhấn mạnh thêm: ta đã biết nếu AB vuông góc với mọi đường thẳng thuộc mặt bàn và đi qua A thì AB vuông góc với mặt bàn.

Với kết quả của HĐ 2, nhận thấy nếu AB vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt bàn thì sẽ vuông góc với mọi đường trong mặt bàn.

- Đây chính là điều kiện để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

+ HS phát biểu lại định lí.

- HS trả lời Câu hỏi (SGK)

- GV cho HS đọc, và hướng dẫn cách làm Ví dụ 1.

- HS thực hiện làm Luyện tập 1.

+ Dựa vào tính chất hình bình hành và SA = SC, SB = SD; chỉ ra SO vuông góc với đường thẳng nào?

- HS suy nghĩ trả lời Vận dụng.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

HĐ 1:

a) Trong quá trình đóng - mở cánh cửa:

+ Đường thẳng  cố định vì luôn đi qua hai bản lề cố định,

+ Đường thẳng  trên mặt sàn và luôn đi qua điểm  cố định (là giao của đường thẳng  và mặt sàn).

- Vì đường thẳng  quay quanh điểm  và  nên  vuông góc với các đường thẳng trên mặt sàn và đi qua .

b) Lấy đường thẳng  bất kì trên mặt sàn. Xét  là đường thẳng trên mặt sàn, đi qua  và song song với . Khi đó .
Kết luận:

Đường thẳng  được gọi là vuông góc với mặt phẳng  nếu  vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong

Chú ý:

Khi  vuông góc với , ta còn nói  vuông góc với  hoặc  và  vuông góc với nhau, kí hiệu

Câu hỏi:

 và (P) cắt nhau.

Vì nếu trái lại thì  song song hoặc nằm trên ,

Khi đó, tồn tại đường thẳng  

//  

Do đó, , mâu thuẫn với giả thiết  .

HĐ 2:

a) Vì là các hình chữ nhật nên

b)

Đặt ê ke như mô tả trong hình vẽ. Ta thấy một cạnh của ê ke trùng với AB và một cạnh thuộc a nên AB vuông góc với a.

Kết luận

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.

Câu hỏi:

Vì đường thẳng vuông góc với hai cạnh của tam giác nên vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác. Nên đường thẳng vuông góc với cạnh thứ ba.

Ví dụ 1 (SGK -tr.32)

Luyện tập 1

Vì  và là giao điểm của hai đường chéo AC, BD nên  là trung điểm của

Vận dụng

Vì cột treo vuông góc với hai thanh đế  (cắt nhau) nên cột vuông góc với sàn nhà (chứa hai thanh đế).

HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐ 3. GV gợi ý:

+ Mặt phẳng (P), (Q) chứa những đường thẳng nào?

+ Đường thẳng a và b có phân biệt không? Vì sao

+ Chứng minh  .

- GV nhấn mạnh: bài toán chỉ ra sự tồn tại của mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

- GV cho HS phát biểu định lí.

- GV lưu ý: HĐ 3 chỉ chứng minh sự tồn tại, tính duy nhất ở đây được thừa nhận; hoặc GV có thể giao về nhà cho HS chứng minh.

- GV đặt câu hỏi để dẫn đến Nhận xét:

+ Theo đề bài thì có các mặt phẳng nào đi qua O và vuông góc với ?

(Các mặt phẳng

+ Các mặt phẳng kể trên có trùng nhau không? Vì sao?

+ GV lưu ý cho HS rằng nhận xét cũng có nghĩa các đường thẳng đi qua O và vuông góc với  thì cũng thuộc mặt phẳng đi qua O và vuông góc với

- HS đọc Ví dụ 2, GV hướng dẫn, giảng giải.

- GV giới thiệu mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng trong phần chú ý.

+ Nhấn mạnh: tập hợp các điểm cách đều hai điểm A, B là mặt phẳng trung trực.

- HS thực hiện HĐ 4. GV gợi ý:

+ a) Chỉ ra mặt phẳng  không trùng nhau.

+  cùng đi qua điểm O nên giao tuyến của  sẽ là đường thẳng như thế nào?

+ b)  vuông góc với các đường thẳng nào, từ đó chứng minh  vuông góc với (P).

- GV nhấn mạnh: bài toán chỉ ra sự tồn tại của đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với mặt phẳng cho trước.

- GV cho HS phát biểu định lí.

- HS thực hiện Luyện tập 2. GV gợi ý:

+ Theo đề bài đường thẳng AB và AC vuông góc với (P), dựa vào định lí trên thì nhận xét gì về đường thẳng AB và AC?

- HS đọc, trình bày lại Ví dụ 3: chỉ ra sự tồn tại duy nhất của hình chiếu theo phương vuông góc của một điểm lên mặt phẳng.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, suy nghĩ trả lời câu hỏi, hoàn thành các yêu cầu.

- GV: quan sát và trợ giúp HS.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

2. Tính chất

HĐ 3:

Ta có: .

Do vàphân biệt nên và  phân biệt.

Mà  đi qua  và vuông góc với .

Kết luận

Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Nhận xét

Nếu ba đường thẳng đôi một phân biệt cùng đi qua điểm O và cùng vuông góc với một đường thẳng  thì ba đường thẳng đó cùng nằm trong mặt phẳng đi qua O và vuông góc với

Ví dụ 2 (SGK-tr33)

Chú ý:

Mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đường thẳng  được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng  là tập hợp các điểm cách đều

HĐ 4:

a) Vì  và  cắt nhau theo một giao tuyến

Tương tự  và  cắt nhau theo một giao tuyến m

Do và cắt nhau nên cắt nhau; suy ra chúng phân biệt.  không trùng nhau.

Mặt khác,  có điểm chung O nên   cắt nhau theo một đường thẳng đi qua O.

b) Ta có:  đi qua O

Mà

Kết luận

Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông óc với một mặt phẳng cho trước.

Luyện tập 2

Ta có:

Mặt khác, qua điểm  có duy nhất đường thẳng vuông góc với

thẳng hàng.

Ví dụ 3 (SGK -tr.34)

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- Ở cấp học trước: ta có mối quan hệ từ vuông góc đến song song trong mặt phẳng. Vậy trong không gian, có mối liên hệ nào giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng không?

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, làm các HĐ5, 6, trong Phiếu bài tập.

- Từ kết quả của HĐ 5, 6 GV đặt câu hỏi:

+ Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì các đường thẳng song song với có vuông góc với (P) không?

+ Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau không?

- Vận dụng các định lí đó, HS nhận biết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng trong Ví dụ 4.

+ Có  cần chứng minh  thì có thể chỉ ra MN // OA.

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, làm các HĐ7, 8, trong phiếu bài tập.

- Từ kết quả của HĐ 7, 8 GV cho HS nêu định lí.

- HS giải thích Ví dụ 5.

+ Phát hiện  nên để chứng minh ta chứng minh (MNP) //(ABC).

- HS suy nghĩ làm Luyện tập 3.

3. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng

HĐ 5:

Vì  nên .

Mặt khác //  nên .

Mà là đường thẳng bất kì thuộc nên vuông góc với mọi đường thẳng trong (P).

HĐ 6:

a)   (P)

Mà   (P)

 cùng đi qua điểm O

 trùng .

b) Ta có  //mà  trùng c nên

Kết luận

- Nếu đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng (P) thì các đường thẳng song song với  cũng vuông góc với (P).

- Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

Ví dụ 4 (SGK -tr.35)

HĐ 7:

//

Do  vuông góc mọi đường thẳng b trong nên (Q).

HĐ 8:

a)   (Q)  

Mà  và  là 2 mặt phẳng cùng đi qua O.

 trùng

b)  mà  trùng  nên .

Kết luận

- Nếu đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng  thì   cũng vuông góc với các mặt phẳng song song với

- Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

Ví dụ 5 (SGK -tr.35)

Luyện tập 3