Giáo án dạy thêm Toán 12 cánh diều Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

HOẠT ĐỘNG CỦA GV - HS

DỰ KIẾN SẢN PHẨM

Bước 1: GV chuyển giao nhiệm vụ học tập

- GV đặt câu hỏi và cùng HS nhắc lại kiến thức phần lí thuyết cần ghi nhớ trong bài “Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số” trước khi thực hiện các phiếu bài tập.

1. Nêu định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.

2. Trình bày cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Bước 2: Học sinh thực hiện nhiệm vụ học tập

- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

Bước 3: Báo cáo kết quả hoạt động, thảo luận

Đại diện một số HS đứng tại chỗ trình bày kết quả.

Bước 4: Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập  

GV đưa ra nhận xét, đánh giá, chuẩn kiến thức.

1. Định nghĩa.

Định nghĩa

Cho hàm số   xác định trên tập .

- Số được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên , kí hiệu nếu với mọi và tồn tại sao cho .

- Số được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên , kí hiệu nếu với mọi và tồn tại sao cho .

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: 

trên đoạn .

Giải

Xét hàm số trên đoạn .

Vì với mọi nên 

với mọi

Suy ra với mọi

Ta có: nên ;

nên .

Chú ý: Khi tìm giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) của hàm số mà không chỉ rõ tập thì ta tìm giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) của hàm số đó trên cả tập xác định của nó.

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: 

Giải

Xét hàm số

- Tập xác định của hàm số là: .

Vì với mọi  

Mặt khác và

Do đó và .

2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng đạo hàm.

Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng, đoạn hay nửa khoảng, ta có thể lập bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp đó. Căn cứ vào bảng biến thiên, ta tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số.

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số:

trên nửa khoảng .

Giải

- Xét hàm số với mọi .

- Ta có:

Vì với mọi nên 

mọi .

Ta có bảng biến thiên như sau:

Vậy hàm số đã cho có giá trị lớn nhất tại và không có giá trị nhỏ nhất.

Nhận xét: Người ta chứng minh được rằng: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên đoạn đó.

- Giả sử hàm số liên tục trên đoạn và có đạo hàm trên khoảng , có thể trừ một số hữu hạn điểm. Nếu chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc khoảng thì ta có quy tắc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn như sau:

- Bước 1: Tìm các điểm thuộc khoảng mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

- Bước 2: Tính và .

- Bước 3: So sánh các giá trị tìm được ở Bước 2.

Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn ,

Số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

trên đoạn .

Giải

Xét hàm số trên đoạn .  

- Ta có: ;

Ta thấy và thuộc đoạn .  

Khi đó, ta có:

 .

Vậy tại ;

tại .

Ví dụ 3:  Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là , với (s) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và (m) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Trong khoảng thời gian 6 giây đầu tiên, vận tốc (m/s) của chất điểm đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu?

Giải

+ Ta có:

+ Xét hàm số

Ta có:

Xét hàm số

Ta có:

Ta thấy

Bảng biến thiên của là:

Vậy vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất trong khoảng thời gian 6 giây đầu tiên là 29 m/s.

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng

Phương pháp giải:

- Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hàm số trên một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng, ta có thể lập bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp đó. Căn cứ vào bảng biến thiên, ta tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số.

- Cho hàm số liên tục trên đoạn

+ Tìm tại đó bằng không hoặc không xác định.

+ Tính .

+ Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất với .

Chú ý: Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất.

Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) ;

b) ;

c) trên khoảng ;

d) trên khoảng ;

e) trên nửa khoảng .

Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) trên đoạn ;

b) trên đoạn ;

c) trên đoạn .

Bài 3. Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) trên đoạn ;

b) trên đoạn ;

Bài 4. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn .

DẠNG 1:

Bài 1. 

a) Xét hàm số  

- Tập xác định của hàm số là .

- Ta có: với mọi .

Mà (vô lí)

Không tồn tại thoả mãn.

Vậy hàm số đã cho không có giá trị lớn nhất.

b) Xét hàm số

- Tập xác định của hàm số là .

- Ta có:

(vô nghiệm)

Vậy hàm số không có giá trị lớn nhất trên .

c) Xét hàm số với mọi .

- Ta có:

.

Bảng biến thiên như sau:

Vậy hàm số có giá trị lớn nhất bằng   khi .

d) Xét hàm số với mọi

- Ta có:

hoặc .

Ta thấy

Bảng biến thiên như sau:

Vậy hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 5 khi .

e)Xét hàm số   với mọi .

- Ta có:

Vì với mọi nên mọi .

Ta có bảng biến thiên như sau:

Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng   khi .

Bài 2. 

a) Xét hàm số với mọi

- Ta có:

hoặc .

Ta thấy và đều thuộc đoạn

Bảng biến thiên như sau:

Vậy hàm số có giá trị lớn nhất bằng 156 khi và có giá trị nhỏ nhất bằng – 4 khi .

b) Xét hàm số với mọi

- Ta có:

hoặc .

Ta thấy thuộc đoạn

Bảng biến thiên như sau:

Vậy hàm số có giá trị lớn nhất bằng 7 khi và có giá trị nhỏ nhất bằng 6 khi .

c) Xét hàm số với mọi .

- Ta có:

hoặc .

Ta thấy thuộc đoạn .

Bảng biến thiên như sau:

Vậy hàm số có giá trị lớn nhất bằng 5 khi và có giá trị nhỏ nhất bằng 4 khi .

Bài 3. 

a) Xét hàm số với mọi

- Ta có:

hoặc .

Ta thấy thuộc đoạn

Bảng biến thiên như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, giá trị lớn nhất của hàm số khi ; giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng khi .

Ta có:

Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là .

b) Xét hàm số với mọi

- Ta có:

Suy ra với mọi

- Ta có:

.

Bảng biến thiên như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, giá trị lớn nhất của hàm số khi ; giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng khi và .

Ta có:

Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1.

Bài 4. 

Đặt

Ta có: với mọi

Suy ra hàm số nghịch biến trên đoạn

Với mọi  

Ta sẽ tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn .

Quan sát đồ thị ta thấy, trên đoạn , hàm số nghịch biến .

Do đó .