Giáo án dạy thêm Toán 12 cánh diều Bài 1: Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian

a)

b)

HOẠT ĐỘNG CỦA GV - HS

DỰ KIẾN SẢN PHẨM

Bước 1: GV chuyển giao nhiệm vụ học tập

- GV đặt câu hỏi và cùng HS nhắc lại kiến thức phần lý thuyết cần ghi nhớ trong bài “Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian” trước khi thực hiện các phiếu bài tập.

1. Nhắc lại khái niệm vectơ trong không gian; vectơ đồng phẳng.

2. Nêu các quy tắc cộng và trừ vectơ trong không gian, nhân một số với một vectơ trong không gian.

3. Nhắc lại khái niệm tích vô hướng của hai vectơ; góc giữa hai vectơ trong không gian.

4. Nêu cách tính tích vô hướng và góc giữa của hai vectơ trong không gian.

Bước 2: Học sinh thực hiện nhiệm vụ học tập

- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

Bước 3: Báo cáo kết quả hoạt động, thảo luận

Đại diện một số HS đứng tại chỗ trình bày kết quả.

Bước 4: Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập 

GV đưa ra nhận xét, đánh giá, chuẩn kiến thức.

1. Khái niệm vectơ trong không gian

Khái niệm

Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.

Chú ý 1: 

- Cho đoạn thẳng trong không gian. Nếu ta chọn điểm đầu là , điểm cuối là thì ta có một vectơ, kí hiệu là đọc là “vectơ ”.

- Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ, vectơ còn được kí hiệu là

- Các khái niệm có liên quan đến vectơ trong không gian như: giá của vectơ, độ dài của vectơ, vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng, vectơ – không, hai vectơ bằng nhau, hai vectơ đối nhau, ... được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng.

Ví dụ 1: Trong không gian cho hình hộp . Hãy chỉ ra ba vectơ có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của hình hộp sao cho ba vectơ đó:

a) Bằng vectơ

b) Là vectơ đối của vectơ

Giải

a) là hình bình hành có:  và nên

Tương tự, ta có

  và nên

và nên

b) Vì các vectơ ngược hướng với vectơ và (tính chất hình hộp) nên ba vectơ là ba vectơ đối của vectơ .

Chú ý 2: Cho điểm và vectơ . Khi đó tồn tại duy nhất điểm trong không gian sao cho .

2. Các phép toán vectơ trong không gian.

a) Tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian.

*) Tổng hai vectơ trong không gian

Trong không gian, cho hai vectơ . Lấy một điểm tuỳ ý, vẽ Vectơ được gọi là tổng của hai vectơ và , kí hiệu .

Chú ý:

- Phép lấy tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.

- Phép cộng vectơ trong không gian cũng có các tính chất như phép cộng vectơ trong mặt phẳng, chẳng hạn: Phép cộng vectơ trong không gian cũng có các tính chất giao hoán, kết hợp, cộng với vectơ – không.

- Khi thực hiện phép cộng vectơ trong không gian, ta vẫn có thể áp dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành như đối với vectơ trong mặt phẳng.

Đối với vectơ trong không gian, ta cũng có các quy tắc sau:

- Với ba điểm trong không gian, ta có:

(Quy tắc ba điểm)

- Nếu là hình bình hành thì:

(Quy tắc hình bình hành)

- Nếu là hình hộp thì:

(Quy tắc hình hộp)

Ví dụ:

a) Cho tứ diện . Chứng minh rằng

b) Cho hình hộp . Chứng minh rằng

Giải

a) 

Theo quy tắc ba điểm trong không gian, ta có:

Áp dụng tính chất phép cộng vectơ trong không gian, ta được:

b) 

Vì là hình hộp nên tứ giác là hình bình hành.

Ta có: và .

Áp dụng quy tắc hình bình hộp, ta có:

*) Hiệu hai vectơ trong không gian

- Trong không gian, cho hai vectơ . Hiệu của vectơ và vectơ là tổng của vectơ và vectơ đối của vectơ , kí hiệu là .

Phép lấy hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ. 

Đối với vectơ trong không gian, ta cũng có các quy tắc sau:

Với ba điểm trong không gian, ta có: 

(Quy tắc hiệu)

Ví dụ: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật. Gọi lần lượt là trung điểm của và . 

Chứng minh rằng

a) và là hai vectơ đối nhau;

b) .

Giải

a) Vì tứ giác là hình chữ nhật nên song song với và  

Suy ra và song song với .

Hai vectơ và có cùng độ đài và ngược hướng nên chúng là hai vectơ đối nhau.

b) Từ câu , ta có:

Khi đó:

Vậy .

b) Tích của một số với một vectơ trong không gian.

Định nghĩa

Cho số thực và vectơ là một vectơ. Tích của số với vectơ là một vectơ, kí hiệu là , được xác định như sau:

- Cùng hướng với vectơ bnếu , ngược hướng với vectơ nếu ;

- Có độ dài bằng .

Quy ước: 0, . Do đó khi và chỉ khi hoặc .

Chú ý:

- Phép lấy tích của một số với một vectơ gọi là phép nhân một số với một vectơ.

- Phép nhân một số với một vectơ trong không gian có tính chất sau:

Với hai vectơ bất kì và hai số thực ta có:

+;

+ ;

+ ;

+ . 

- Hai vectơ bất kì khác là cùng phương khi vào chỉ khi có một số thực sao cho . 

Ví dụ: Cho hình lăng trụ tam giác . Gọi lần lượt là trung điểm của và . Chứng minh rằng

Giải

Vì lần lượt là trung điểm của và nên là đường trung bình của tam giác .

Suy ra song song với và

Tứ giác là hình bình hành nên song song với và

Do đó song song với

Suy ra

Vì hai vectơ và cùng hướng nên 

Vậy .

3. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian.

*) Góc giữa hai vectơ

- Trong không gian, cho hai vectơ khác . Lấy một điểm tuỳ ý và vẽ hai vectơ . Góc giữa hai vectơ trong không gian là góc giữa hai vectơ , kí hiệu là .

Chú ý:

Ví dụ: Cho hình lập phương . Xác định góc giữa hai vectơ .

Giải

Vì là hình lập phương nên tứ giác là hình vuông

Suy ra

Khi đó

*) Tích vô hướng của hai vectơ

- Trong không gian, cho hai vectơ khác . Tích vô hướng của hai vectơ và , kí hiệu , là một số thực được xác định bởi công thức:

trong đó là góc giữa hai vectơ .

Quy ước: Tích vô hướng của một vectơ bất kì với vectơ bằng 0.

Chú ý:

- Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian có các tính chất sau:

Với các vectơ bất kì và số thực tuỳ ý, ta có:

+ (tính chất giao hoán);

+ (tính chất phân phối);

+ ;

+ .

- Nếu là hai vectơ khác thì:

Ví dụ: Cho tứ diện đều có cạnh bằng và là trung điểm của .

a) Tính các tích vô hướng của , và ;

b) Tính góc giữa hai vectơ và .

Giải

a) 

Vì là tứ diện đều nên tam giác là tam giác đều.

Suy ra

- Xét tam giác có

Ta có:

- Vì là trung điểm của nên vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của tam giác đều

Suy ra

Xét tam giác đều có và  

Ta có: 

- Vì là trung điểm của nên là đường cao tam giác đều

Suy ra

Xét tam giác đều có và  

Ta có: 

b) 

Ta có:

Vì là trung điểm của nên lần lượt là các đường cao của tam giác đều và .

Suy ra và

Khi đó và

Suy ra .

Vậy  .