Giáo án Toán 11 cánh diều Chương 1 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV mời 1 HS nhắc lại khi giải phương trình thì cần lưu ý đến điều gì đầu tiên?

- GV cho HS thực hiện HĐ1 và mời 2 HS lên bảng giải phương trình và nêu nhận xét về tập nghiệm của hai phương trình đó.

- GV chính xác hóa câu trả lời và dẫn dắt đến định nghĩa: “Hai phương trình các em đã giải trên HĐ1 được gọi là phương trình tương đương, vậy phương trình tương đương là gì?”

- GV cho HS tự đọc và trả lời Ví dụ 1.

- GV triển khai Luyện tập 1 cho HS thực hiện theo nhóm đôi.

+ GV đặt câu hỏi: Khi giải phương trình cho dưới dạng phân thức thì ta cần chú ý điều gì?

+ HS trao đổi và tìm ra đáp án. GV mới 1 HS lên bảng làm bài.

- GV yêu cầu 1 HS đứng tại chỗ nêu nhận định cho HĐ2 và giải thích lý do tại sao lại có nhận định đó.

- GV giải thích: Những phép biến đổi mà không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình giống với phương trình ở HĐ2 thì ta gọi đó là phép biến đổi tương đương.

 Từ đó GV nêu Định lí về một số phép biến đổi tương đương thường sử dụng.

- GV cho HS đọc – hiểu phần Ví dụ 2 sau đó yêu cầu HS trình bày lại trong Ví dụ 2 đã sử dụng phương pháp nào để giải phương trình.

- HS thực hiện giải Luyện tập 2 và đối chiếu đáp án với bạn cùng bàn.

+ GV chỉ định 1 HS lên bảng trình bày đáp án. HS dưới lớp nêu nhận xét về bài làm của bạn.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm:

+ Khái niệm phương trình tương đương.

I. Phương trình tương đương

- Một phương trình với ẩn x có dạng f(x) = g(x), trong đó vế trái f(x) và vế phải g(x) là hai biểu thức của cùng một biến x. Khi giải phương trình này, ta cần lưu ý tới điều kiện đối với ẩn số x để f(x) và g(x) có nghĩa (tức là mọi phép toán đều thực hiện được). Ta cũng nói đó là điều kiện xác định của phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của phương trình).

HĐ1

a) Ta có:  (1)

     Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S₁ = {1; 2}.

Ta có:

(2)

     Vậy phương trình (2) có tập nghiệm S₂ = {1; 2}.

b) Hai tập S₁, S₂ bằng nhau vì cùng là tập {1; 2}.

Định nghĩa

Hai phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Nếu phương trình  đương đương với phương trình  thì ta viết .

Ví dụ 1: (SGK – tr.32).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.32,33).

Luyện tập 1

+ Ta có:

Tập nghiệm của phương trình là .

+ Ta có:

ĐKXĐ:

Tập nghiệm của phương trình là .

=> Ta thấy  nên hai phương trình trên tương đương.

HĐ2

Phương trình 3x ‒ 6 = 0 có tập nghiệm S₁ = {2}.

Phương trình 3x = 6 có tập nghiệm S₂ = {2}.

Vì S₁ = S₂ nên hai phương trình 3x ‒ 6 = 0 và 3x = 6 tương đương

Khi đó ta viết

Vậy khẳng định  là chính xác.

Định lí

Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương.

a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức;

b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.

Ví dụ 2: (SGK – tr.33).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.33).

Luyện tập 2

Ta có: (x – 1)² = 5x – 11.

⇔ x² – 2x + 1 – (5x – 11) = 0

⇔ x² – 2x + 1 – 5x + 11 = 0

⇔ x² – 7x + 12 = 0

⇔ 

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {3; 4}.

HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV triển khai HĐ3 cho HS thực hiện

 GV hướng dẫn:

+ Ta xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và hàm số. Khi đó ta có:  với .

+ Dựa vào giá trị lượng giác của các góc lượng giác đặc biệt ta sẽ tính được  khi  và . Từ đó ta suy ra được tọa độ của  và .

- GV đặt câu hỏi dẫn dắt: Từ phần a và b của HĐ3, chúng ta có thể xác định được các nghiệm của phương trình  một cách tổng quát không?

+ GV mời 1 HS trả lời và GV chính xác hóa bằng phần Nhận xét.

- GV giới thiệu công thức nghiệm cho trường hợp tổng quát của phương trình  cho HS.

- GV đặt câu hỏi mở rộng cho HS tự giải:

+ Áp dụng công thức nghiệm của phương trình  hãy giải các phương trình sau:

;

+ GV mời 3 HS lên bảng làm bài.

+ GV chính xác hóa đáp án bằng cách trình bày phần chú ý lên bảng cho HS quan sát và ghi bài.

- GV yêu cầu HS làm Ví dụ 3, sau đó trình bày lời giải ra vở.

- GV chỉ định 2 HS lên bảng thực hiện Luyện tập 3.

+ GV quan sát và kiểm tra ngẫu nhiên một số HS làm bài.

+ GV mời 2 HS nêu nhận xét về bài làm của bạn trên bảng.

- GV đọc Ví dụ 4 và chỉ định 2 HS đứng tại chỗ trình bày cách làm và nêu rõ trong Ví dụ đã sử dụng những phép biến đổi lượng giác nào.

- HS suy nghĩ thực hiện Luyện tập 4 sau đó đối chiếu kết quả với bạn cùng bàn.

+ GV chỉ chịnh 1 HS lên bảng  làm bài.

+ GV kiểm tra một số HS trong lớp và hướng dẫn nếu cần.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, suy nghĩ trả lời câu hỏi, hoàn thành các yêu cầu.

- GV: quan sát và trợ giúp HS.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở:

+ Công thức nghiệm của phương trình .

II. Phương trình

HĐ3

a) Với  ta thấy  tại  và .

Do đó đường thẳng d:  cắt đồ thị hàm số  tại hai giao điểm A₀, B_0­ có hoành độ lần lượt là  và .

b) Với  ta thấy  tại  và .

Do đó đường thẳng d:  cắt đồ thị hàm số  tại hai giao điểm A₁, B_1­ có hoành độ lần lượt là  và .

Nhận xét

Phương trình  có các nghiệm là:

Công thức nghiệm

+ Với , phương trình vô nghiệm.

+ Với , gọi  là số thực thuộc đoạn  sao cho . Khi đó, ta có:

Chú ý

a) Ta có một số trường hợp đặc biệt sau của phương trình :

+ ;

+ ;

+  

b) Ta có x

c) Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho  như sau:

Ví dụ 3: (SGK – tr.34).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.34).

Luyện tập 3

a) Do  nên

b)

Ví dụ 4: (SGK – tr.35).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.35).

Luyện tập 4

Ta có: