HOẠT ĐỘNG CỦA GV - HS

DỰ KIẾN SẢN PHẨM

*Chuyển giao nhiệm vụ

- GV đặt câu hỏi và cùng HS nhắc lại kiến thức phần lí thuyết cần ghi nhớ trong bài “Hai đường thẳng vuông góc” trước khi thực hiện các phiếu bài tập.

* Thực hiện nhiệm vụ:

- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

* Báo cáo kết quả: đại diện một số HS đứng tại chỗ trình bày kết quả.

* Nhận xét đánh giá: GV đưa ra nhận xét, đánh giá, chuẩn kiến thức.

1. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

- Góc giữa hai đường thẳng  trong không gian, kí hiệu , là góc giữa hai đường thẳng và  cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với .

Chú ý

·        Để xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau  và , ta có thể lấy một điểm  thuộc đường thẳng  và qua đó kẻ đường thẳng  song song với . Khi đó .

·    Với hai đường thẳng  bất kì: .

2. Hai đường thẳng vuông góc trong không gian

Trong không gian, hai đường thẳng  được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng .

Kí hiệu: hai đường thẳng a, b vuông góc với nhau là  hoặc

Ví dụ: Hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các mặt là hình vuông.

Chú ý:
a) Hai đường thẳng vuông góc có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
b) Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường này thì cũng vuông góc với đường kia.
c) Trong không gian, khi có hai đường thẳng phân biệt  cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba  thì ta chưa kết luận được  như trong hình học phẳng.

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Tính góc giữa hai đường thẳng

Phương pháp giải:

Tìm góc giữa hai đường thẳng   bằng cách chọn một điểm   thích hợp (thường nằm trên một trong hai đường thẳng).

Từ   dựng các đường thẳng  lần lượt song song (có thể tròng nếu   nằm trên một trong hai đường thẳng) với   và  . Góc giữa hai đường thẳng  chính là góc giữa hai đường thẳng .

Lưu ý: Để tính góc này ta thường sử dụng định lí côsin trong tam giác

Bài 1. Cho tứ diện  có ,  ( ,  lần lượt là trung điểm của  và ). Tính số đo góc giữa hai đường thẳng  và .

Bài 2. Cho tứ diện  có . Gọi  lần lượt là trung điểm của . Tính góc

Bài 3. Cho hình lập phương . Tính số đo giữa hai đường thẳng  và  Bài 4. Cho hình lập phương . Hãy tính số đo góc giữa hai đường thẳng AF và EG.

Bài 5. Cho tứ diện  đều cạnh bằng . Gọi  là trung điểm ,  là góc giữa  và . Tính .

Bài 6. Cho tứ diện . Gọi  lần lượt là trung điểm các cạnh  và . Cho biết  và . Tính góc giữa hai đường thẳng  và .

DẠNG 1:

Bài 1.

Gọi ,  lần lượt là trung điểm , .

Ta có:

 là hình thoi.

Gọi  là giao điểm của  và .

Ta có: .

Xét  vuông tại , ta có: .

Mà: .

Bài 2.

Tứ giác  là hình bình hành.

Mặt khác  mà  nên .

Do đó  là hình thoi.

Suy ra .

Bài 3.

Vì  nên góc giữa  và  là .

Vì tam giác  đều nên .

Vậy góc giữa  và  bằng .

Bài 4.

Đặt cạnh của hình lập phương trên là  

Gọi  là giao trung điểm  

Qua  kẻ đường thẳng  

Qua  kẻ đường thẳng  

Suy ra  cắt  tại .

Từ đó suy ra  

Bài 5.

Gọi  là trọng tâm của  

Trên đường thẳng  qua  và song song  lấy điểm  sao cho  là hình chữ nhật, từ đó suy ra:  

Có:  và

 ;

Bài 6.

Gọi  là trung điểm của , ta có .

Áp dụng định lí côsin cho tam giác  ta có

.

Vậy .

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2

DẠNG 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc và các bài toán liên quan

Phương pháp giải:

Để chứng minh ta có trong phần này ta có thể thực hiện theo các cách sau:

•        Sử dụng tính chất

•        Sử dụng định lí Pitago hoặc xác định góc giữa  và tính trực tiếp góc đó.

Bài 1. Cho tứ diện đều  có cạnh bằng . Gọi  lần lượt là trung điểm của  và

a) Chứng minh

b) Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

Bài 2. Cho hình chóp  có đáy là hình bình hành với .

Tam giác  vuông can tại ,  là một điểm trên cạnh  (  khác  và ). Mặt phẳng  đi qua  và song sog với cắt  lần lượt tại .

a) Chứng minh MN vuông góc MQ và MNPQ là hình thang vuông.

b) Tính diện tích của MNPQ theo a.

Bài 3. Trong không gian cho hai tam giác đều  và  có chung cạnh  và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi  lần lượt là trung điểm của các cạnh  và . Tứ giác  là hình gì?

Bài 4. Cho tứ diện  có . Gọi  lần lượt là trung điểm của  và . Biết  vuông góc với . Tính .

Bài 5. 

Cho tứ diện  có  vuông góc với , .  là điểm thuộc cạnh  sao cho . Mặt phẳng  đi qua  song song với  và . Xác định giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt phẳng (ABC), (ACD), (ABD), (BCD). Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến đó.