Giáo án dạy thêm Toán 11 chân trời Chương 8 Bài 3: Hai mặt phẳng vuông góc

HOẠT ĐỘNG CỦA GV - HS

DỰ KIẾN SẢN PHẨM

*Chuyển giao nhiệm vụ

- GV đặt câu hỏi và cùng HS nhắc lại kiến thức phần lí thuyết cần ghi nhớ trong bài “Hai mặt phẳng vuông góc” trước khi thực hiện các phiếu bài tập.

* Thực hiện nhiệm vụ:

- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

* Báo cáo kết quả: đại diện một số HS đứng tại chỗ trình bày kết quả.

* Nhận xét đánh giá: GV đưa ra nhận xét, đánh giá, chuẩn kiến thức.

1. Góc giữa hai mặt phẳng

- Góc giữa hai mặt phẳng  và  là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với  và , kí hiệu .

Ta có:  với

Nhận xét:

Cho

với

2. Hai mặt phẳng vuông góc

Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa hai mặt phẳng đó là một góc vuông. Hai mặt phẳng  và  vuông góc được kí hiệu là .

Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

3. Tính chất cơ bản về hai mặt phẳng vuông góc

- Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

- Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.

4. Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương.

Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.

Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có mặt đáy là đa giác đều.

Hình hộp đứng là hình hộp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.

Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có mặt đáy là hình chữ nhật.

Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau.

*) Tính chất cơ bản

(Bảng dưới)

5. Hình chóp đều. Hình chóp cụt đều

*) Hình chóp đều

- Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.

Chú ý: Hình chóp đều có

a) Các mặt bên là các tam giác cân tại đỉnh hình chóp và bằng nhau.

b) Đoạn thẳng nối từ đỉnh hình chóp đến tâm của đáy thì vuông góc với mặt đáy và gọi là đường cao của hình chóp.

c) Độ dài đường cao gọi là chiều cao của hình chóp đều.

*) Hình chóp cụt đều

- Phần của hình chóp đều nằm giữa đáy và một mặt phẳng song song với đáy cắt các cạnh bên của hình chóp đều được gọi là hình chóp cụt đều.

Trong hình chóp cụt đều  ta gọi:

+ Các điểm  là các đỉnh.

+ Đa giác  là đáy lớn, đa giác là đáy nhỏ. Đáy lớn và đáy nhỏ nằm trên hai mặt phẳng song song.

+ Cạnh của hai đa giác đáy là cạnh đáy. Các cạnh đáy tương ứng song song từng đôi một.

+ Các hình thang cân  là các mặt bên.

+ Cạnh bên của mặt bên gọi là cạnh bên của hình chóp cụt đều. Hình chóp cụt đều có các cạnh bên bằng nhau, các mặt bên là những hình thang cân.

+ Đoạn thẳng nối tâm hai đáy là đường cao. Độ dài đường cao là chiều cao.

Tên

Hình vẽ

Tính chất cơ bản

Hình lăng trụ đứng

- Cạnh bên vuông góc với hai đáy.

- Mặt bên là các hình chữ nhật.

Hình lăng trụ đều

- Hai đáy là hai đa giác đều.

- Mặt bên là các hình chữ nhật.

- Cạnh bên và đường nối tâm hai đáy vuông góc với hai đáy.

Hình hộp đứng

- Bốn mặt bên là hình chữ nhật.

- Hai đáy là hình bình hành.

Hình hộp chữ nhật

- Sáu mặt là hình chữ nhật.

- Độ dài  của ba cạnh cùng đi qua một đỉnh gọi là ba kích thước của hình hộp chữ nhật.

- Độ dài đường chéo  được tính theo ba kích thước:

Hình lập phương

- Sáu mặt là hình vuông.

- Độ dài đường chéo  được

tính theo độ dài cạnh  :

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Góc giữa hai mặt phẳng

Phương pháp giải:

Cách 1: Dùng định nghĩa:

- Xác định hai đường thẳng a, b tương ứng vuông góc với (P), (Q). Khi đó

Cách 2: 

- Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng.

- Chọn điểm I thích hợp trên từ I ta dựng 2 đường thẳng, đường thẳng a nằm trên mặt phẳng (P) và vuông góc với , đường thẳng b nằm trên mặt phẳng (Q) và vuông góc với

Khi đó

Cách 2:

- Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng.

- Chọn điểm M thích hợp nằm trên 1 trong 2 mặt phẳng, từ điểm M dựng hình chiếu vuông góc H đến mặt phẳng còn lại.

- Dựng hình chiếu vuông góc I của điểm M hoặc điểm H đến giao tuyến

Khi đó

Cách 3: Dùng khoảng cách (nội dung bài sau).

Cách 4: Sử dụng công thức hình chiếu (Mở rộng)

Giả sử góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng . Lấy trong mặt phẳng (P) một đa giác (H) có diện tích S, hình chiếu vuông góc của đa giác (H) lên mặt phẳng (Q) là đa giác (H′) có diện tích S′. Khi đó ta luôn có công thức

Bài 1. Cho tứ diện đều . Tính côsin góc giữa  và .

Bài 2. Cho hình chóp  có đáy là hình thoi tâm  cạnh  và có góc . Đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng đáy  và . Gọi  là trung điểm  và  là trung điểm . Tính góc giữa hai mặt phẳng  và .

Bài 3. Cho hình chóp  có đáy  là hình vuông tâm . Biết ,  và đường tròn ngoại tiếp  có bán kính bằng . Gọi  là góc hợp bởi mặt bên  với đáy. Hãy tính giá trị .

Bài 4. Trong không gian cho tam giác đều  và hình vuông  cạnh  nằm trên hai mặt phẳng vuông góc. Gọi ,  lần lượt là trung điểm của , .  của góc tạo bởi hai mặt phẳng  và  bằng bao nhiêu?

Bài 5. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng  và chiều cao bằng . Tính số đo của góc giữa mặt bên và mặt đáy.

Bài 6. Cho tam giác đều  có cạnh bằng  và nằm trong mặt phẳng . Trên các đường thẳng vuông góc với tại  lần lượt lấy  nằm trên cùng một phía đối với  sao cho . Góc giữa  và  bằng bao nhiêu?

Bài 7. Cho hình chóp  có đáy là tam giác đều cạnh . Trên cạnh  lấy điểm  sao cho diện tích tam giác  bằng . Tính góc giữa hai mặt phẳng  và .

Bài 8. Cho hình lăng trụ đứng  có đáy  làm tam giác cân với , , cạnh bên , gọi  là trung điểm của . Chứng minh rằng tam giác  vuông tại  và tính cosin góc giữa hai mặt phẳng  và .

DẠNG 1:

Bài 1.

Đặt . Gọi  là trung điểm của .

Tam giác  đều cạnh  nên  và .

Tam giác  đều nên  và .

Do đó, .

Tam giác  có .

Bài 2.

 đều nên . Mặt khác  (1).

Do  (2).

Từ (1) và (2), suy ra

Vậy, góc giữa  và  bằng

Bài 3.

Gọi  là trung điểm của .

Khi đó  

.

Ta có: .

.

Bài 4.

Ta có:

Gọi  với

Do đó:

Mặt khác: ; mà

Vì  là trung điểm của    (vì )

 (theo định lí ba đường vuông góc)

Do đó:  là góc giữa  và  

Mà là đường cao trong đều cạnh

Xét  vuông tại có: .

Bài 5.

Giả sử hình chóp đã cho là  có đường cao .

Ta có: .

Gọi  là trung điểm của    dễ chứng minh được  và .

  .

Mặt khác:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác  vuông tại , ta có :

.

Bài 6.

Gọi .

Ta có: .

Mặt khác, ta có: , .

Gọi  là trung điểm , ta có .

Do đó .

Suy ra tam giác  cân tại .

Gọi  là trung điểm , ta có .

Suy ra  

Vậy .

Bài 7.

Ta có: . Gọi

Do  là hình chiếu của tam giác  trên mặt phẳng

do đó .

Bài 8.

Ta có: .

Mặt khác .

Do  vuông tại .

Ta có:

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2

DẠNG 2: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc. Vận dụng tính chất hai mặt phẳng vuông góc

Phương pháp giải:

Để chứng minh (P)  (Q), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

          • Chứng minh trong (P) có một đường thẳng a mà a  (Q).

          • Chứng minh  .

Để chứng minh d  (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

          • Chứng minh d  (Q) với (Q)  (P) và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q).

          • Chứng minh d = (Q)  (R) với (Q)  (P) và (R)  (P).

          • Sử dụng các cách chứng minh đã biết ở phần trước.

Bài 1. Cho tứ diện ABCD có . Trong  vẽ các đường cao  và  cắt nhau ở . Trong  vẽ  tại . Chứng minh: , , .

Bài 2. Cho hình lập phương . Chứng minh  vuông góc với các mặt phẳng sau: , , .

Bài 3. Cho hình lăng trụ tứ giác đều  có cạnh đáy bằng , góc giữa hai mặt phẳng và  có số đo bằng . Tình độ dài của cạnh bên hình lăng trụ theo

Bài 4. Cho hình chóp  có đáy  là hình thoi tâm  cạnh  và . Biết cạnh  và vuông góc với mặt phẳng . Chứng minh rằng:
a) .
b) .

Bài 5. Cho hình chóp  có đáy  là hình vuông cạnh . Mặt bên  là tam giác cân tại  và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi  lần lượt là trung điểm của  và .

a) Chứng minh .

b) Chứng minh  và .

Bài 6. Cho hình lăng trụ đứng  có đáy  là tam giác vuông tại  với , cạnh bên . Điểm  là trung điểm của cạnh ,

a) Chứng minh  và .

b) Tính cosin góc giữa mặt phẳng  và mặt đáy .