Giáo án dạy thêm Toán 12 chân trời Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

HOẠT ĐỘNG CỦA GV- HS

Bước 1: GV chuyển giao nhiệm vụ học tập.

 GV đặt câu hỏi và cùng HS nhắc lại kiến thức phần lí thuyết cần ghi nhớ trong bài “Tính đơn điệu của hàm số” trước khi thực hiện các phiếu bài tập.

• Nêu khái niệm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.

• Làm thế nào để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn?

Bước 2: Học sinh thực hiện nhiệm vụ học tập.

- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

Bước 3: Báo cáo kết quả hoạt động, thảo luận.

- Đại diện một số HS đứng tại chỗ trình bày kết quả.

Bước 4: Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập.

- GV đưa ra nhận xét, đánh giá chuẩn kiến thức.

1. Định nghĩa

Cho hàm số  có đạo hàm trên tập hợp .

Số  được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số  trên  nếu  với mọi  thuộc  và tồn tại  thuộc  sao cho . Kí hiệu .

Số  được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số  trên  nếu  với mọi  thuộc  và tồn tại  thuộc  sao cho Kí hiệu .

Chú ý: Ta quy ước khi chỉ nói giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số  (mà không cho rõ tập hợp ) thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số  trên tập xác định của nó.

Ví dụ: Xét hàm số .

- Tập xác định:

- Ta có:  với mọi .

Mặt khác:

Vậy .

Chú ý: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thường được tìm bằng cách sử dụng đạo hàm và bảng biến thiên.

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số  trên nửa khoảng .

- Ta có:

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Từ bảng biến thiên, ta thấy  và hàm số không có giá trị lớn nhất trên .

2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn.

Bước 1: Tìm các điểm  thuộc khoảng  mà tại đó  bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 2: Tính  .

Bước 3: Gọi  là số lớn nhất và  là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được ở Bước 2. Khi đó:

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số  trên đoạn .

Ta có:

Có:  

Vậy  

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số thông qua đồ thị, bảng biến thiên

Phương pháp giải:

• Giá trị lớn nhất của hàm số  trên đoạn

Hàm số  liên tục trên đoạn  và . Khi đó giá trị lớn nhất của hàm số  là .

• Giá trị nhỏ nhất của hàm số  trên đoạn

Hàm số  liên tục trên đoạn  và . Khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số  là .

• Hàm số  đồng biến trên đoạn  thì ; .

• Hàm số  nghịch biến trên đoạn  thì ; .

Bài 1. Cho hàm số  liên tục trên đoạn   và có đồ thị như hình vẽ. Gọi  và  lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn . Tính giá trị của .

Bài 2: Cho hàm số  liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau.

Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Bài 3: Cho hàm số  liên tục trên  và có đồ thị như hình bên dưới.

Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .

Bài 4: Cho hàm số  liên tục trên  và có đồ thị như hình dưới:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số  trên đoạn .

DẠNG 1:

Bài 1:

Từ đồ thị ta thấy: .

Vậy .

Bài 2:

Trên đoạn  ta có giá trị lớn nhất của hàm số là 3 khi  và giá trị nhỏ nhất của hàm số là  khi . 

Khi đó, tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là: .

Bài 3:

Từ đồ thị ta thấy:

Khi đó hàm số đạt giá trị lớn nhất là  khi  và hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là  khi .

Bài 4:

Đặt  . Từ đồ thị đã cho ta có:  để .

Và  thì

Vậy khi  .

         khi .

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2

DẠNG 2: Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn. 

Phương pháp giải:

Bước 1: Hàm số đã cho  xác định và liên tục trên đoạn . Tìm các điểm  trên khoảng , tại đó  hoặc  không xác định.

Bước 2: Tính .

Bước 3: Khi đó: .

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số  trên đoạn .

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số  trên đoạn .

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số  trên đoạn .

Bài 4: Gọi  và  lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số  trên . Tính .

Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số  trên đoạn .

Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên .

DẠNG 2:

Bài 1:

Hàm số đã cho liên tục trên đoạn .

Ta có:

Xét hàm số trên đoạn  có: .

Vậy .

Bài 2:

Ta có: ;

Khi đó:

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn  bằng .

Bài 3:

Ta có:

Trên khoảng  .

Ta có: .

Do hàm số  xác định và liên tục trên  nên .

Bài 4:

Hàm số  xác định và liên tục trên .

Ta có: .

Ta có: .

Suy ra và .

Vậy .

Bài 5:

Ta có: .

Khi đó:  

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là  và giá trị nhỏ nhất của hàm số là .

Bài 6:

Đặt

Có: .

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là .

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 3

DẠNG 3: Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng (a;b)

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính đạo hàm .

Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm  của phương trình   và tất cả các điểm   làm cho  không xác định.

Bước 3: Tính .

Bước 4: So sánh các giá trị tính được và kết luận .

Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).

Bài 1: Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số  trên khoảng .

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số  trên tập xác định của nó.

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số  trên tập xác định của nó.

DẠNG 3:

Bài 1:

Ta có:

Cho

Ta có bảng biến thiên như sau:

Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng .

Bài 2:

Tập xác định: .

Ta có:

Bảng biến thiên như sau:

Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là  tại .

Bài 3:

- Tập xác định: .

Ta có:

.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên có  khi . Hàm số không có giá trị nhỏ nhất.

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 4.

DẠNG 4: Tìm  để giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm nghiệm  của  thuộc .

Bước 2: Tính các giá trị  theo tham số.

Bước 3: So sánh các giá trị, suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

Bước 4: Biện luận  theo giả thuyết để kết luận.

Lưu ý: 

• Hàm số  đồng biến trên đoạn  thì ; .

• Hàm số  nghịch biến trên đoạn  thì ; .

Bài 1: Tìm giá trị thực của tham số  để hàm số  có giá trị lớn nhất trên đoạn  bằng 10.

Bài 2: Cho hàm số  ( là tham số thực) thỏa mãn . Tìm .

Bài 3: Có bao nhiêu giá trị của tham số  để giá trị lớn nhất của hàm số  trên đoạn  bằng .

Bài 4: Tính tổng tất cả các giá trị của tham số  sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số  trên đoạn  bằng 1.