Giáo án dạy thêm Toán 12 chân trời Bài 3: Ứng dụng hình học của tích phân

•          0               

HOẠT ĐỘNG CỦA GV - HS

DỰ KIẾN SẢN PHẨM

Bước 1: GV chuyển giao nhiệm vụ học tập

- GV đặt câu hỏi và cùng HS nhắc lại kiến thức phần lí thuyết cần ghi nhớ trong bài “ Ứng dụng hình học của tích phân” trước khi thực hiện các phiếu bài tập.

1.Trình bày cách tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số, trục hoành và hai đường thẳng ; hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số và hai đường thẳng .

2.Trình bày cách tính thể tích hình khối, thể tích khối tròn xoay.

Bước 2: Học sinh thực hiện nhiệm vụ học tập

- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

Bước 3: Báo cáo kết quả hoạt động, thảo luận

Đại diện một số HS đứng tại chỗ trình bày kết quả.

Bước 4: Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập 

GV đưa ra nhận xét, đánh giá, chuẩn kiến thức.

1. Tính diện tích hình phẳng

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số, trục hoành và hai đường thẳng .

Cho hàm số liên tục trên đoạn   Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số , trục hoành và hai đường thẳng được tính bởi công thức:

Chú ý: Giả sử hàm số liên tục trên đoạn   Nếu f(x) không đổi dấu trên đoạn thì:

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng .

Giải:

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng là:

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số và hai đường thẳng .

Cho hai hàm số liên tục trên đoạn  . Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số , và hai đường thẳng   được tính bởi công thức:

Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số ; và hai đường thẳng .

Giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số

.

2. Thể tích hình khối

Trong không gian, cho một vật thể nằm trong khoảng không gian giữa hai mặt phẳng và cùng vuông góc với trục tại các điểm và . Mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ ( cắt vật thể theo mặt cắt có diện tích

Khi đó, nếu là hàm số liên tục trên thì thể tích của vật thể được tính bằng công thức:

Ví dụ 3: Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng , biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục tại điểm có hoành độ ( thì được thiết diện là một hình chữ nhật có hai cạnh là và .

Giải:

Diện tích thiết diện là: 

Thể tích vật thể tạo thành là

Thể tích khối tròn xoay

Cho là hàm số liên tục và không âm trên đoạn Gọi là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành và hai đường thẳng .

Quay xung quanh trục ta được một khối hình gọi là khối tròn xoay.

Cắt khối tròn xoay trên bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ với , ta được mặt cắt là hình tròn có bán kính bằng và diện tích .

Vậy khối tròn xoay có thể tích là:

Ví dụ 4: Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong , trục hoành và các đường thẳng . Khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành có thể tích bằng bao nhiêu?

Giải:

.

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số (liên tục trên đoạn ), trục hoành và hai đường thẳng .

Phương pháp giải: 

Xét hình phẳng

Khi đó diện tích hình phẳng là: .

Trong trường hợp này, nếu thiếu cận hoặc thì ta đi tìm các giải phương trình

Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng .

Bài 2. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng ; .

Bài 3. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng .

Bài 4. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số .

Bài 5. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành.

DẠNG 1:

Bài 1.

Vì phương trình không có nghiệm trên khoảng nên .

Bài 2.

Bài 3.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành:  

Suy ra .

Bài 4.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành:

suy ra .

Đặt suy ra .

.

Bài 5.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số  và trục hoành:

Suy ra hoặc .

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2

DẠNG 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số (liên tục trên đoạn ), hai đường thẳng

Phương pháp giải: 

Xét hình phẳng

Khi đó diện tích hình phẳng là: .

Trong trường hợp này, nếu thiếu cận hoặc thì ta tìm cách giải phương trình

Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số .

Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số .

Bài 3. Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng , . Tìm giá trị của để  

Bài 4. Cho là hình phẳng giới hạn bởi parabol cung tròn có phương trình và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Tính diện tích của

Bài 5. Cho hàm số Tìm b sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi và các đường thẳng   bằng .

DẠNG 2:

Bài 1. 

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số

hoặc .

Đặt suy ra .

Vậy .

Bài 2.

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số và là: .

Suy ra hoặc .

.

Bài 3.

Vì nên từ suy ra .

nên và .

Xét phương trình:

hoặc .

Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là:

Mà .

Suy ra hay .

Vì nên .

Bài 4.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của parabol và cung tròn

Vì nên .

Diện tích của hình   là: 

với .

Đặt suy ra .

Đổi cận suy ra .

Vậy .

Bài 5. 

Gọi là diện tích cần xác định, ta có:

Đặt suy ra .

Đổi cận suy ra với .

Vì nên .

Suy ra

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 3

DẠNG 3: Tính thể tích vật thể

Phương pháp giải: 

…………………..