Giáo án dạy thêm Toán 12 chân trời Bài 4: Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

HOẠT ĐỘNG CỦA GV- HS

Bước 1: GV chuyển giao nhiệm vụ học tập.

GV đặt câu hỏi và cùng HS nhắc lại kiến thức phần lí thuyết cần ghi nhớ trong bài “Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản” trước khi thực hiện các phiếu bài tập.

• Muốn khảo sát và vẽ đồ thị của một hàm số ta làm thế nào? Nêu các bước thực hiện.

Bước 2: Học sinh thực hiện nhiệm vụ học tập.

- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

Bước 3: Báo cáo kết quả hoạt động, thảo luận.

- Đại diện một số HS đứng tại chỗ trình bày kết quả.

Bước 4: Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập.

- GV đưa ra nhận xét, đánh giá chuẩn kiến thức.

 Sơ đồ khảo sát hàm số

Để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số  ta thực hiện theo các bước sau đây:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2: Xét sự biến thiên của hàm số

• Tìm đạo hàm , xét dấu , xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.

• Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

• Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 3: Vẽ đồ thị của hàm số

• Xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ (nếu có và dễ tìm),..

• Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

• Vẽ đồ thị hàm số.

Chú ý: Chỉ ra tâm đối xứng và trục đối xứng của đồ thị hàm số (nếu có).

Ví dụ: Cho hàm số . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

Tập xác định: .

Ta có:

.

Hàm số nghịch biến trên các khoảng  và , đồng biến trên khoảng .

Hàm số đạt cực đại tại , đạt cực tiểu tại  .

.

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số đi qua các điểm , , .

Đồ thị hàm số nhận điểm  làm tâm đối xứng.

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Khảo sát hàm số  và các dạng bài liên quan.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2: Xét sự biến thiên của hàm số

• Tìm đạo hàm , xét dấu , xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.

• Tìm giới hạn tại vô cực của hàm số.

• Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 3: Vẽ đồ thị của hàm số

• Xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ (nếu có và dễ tìm),..

• Vẽ đồ thị hàm số.

Bài 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số của các hàm số sau:

a) ;	b) ;
c) ;	d) .

Bài 2: Cho hàm số , trong đó  là tham số.

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số đã cho với .

b) Với giá trị nào của   thì hàm số nghịch biến trên khoảng .

Bài 3: Cho hàm số  (1)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (1).

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng .

Bài 4: Cho hàm số  có đồ thị là .

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với .

b) Tìm  để đường thẳng  cắt đồ thị hàm số   tại ba điểm phân biệt  và  sao cho diện tích tam giác  bằng (với  là góc tọa độ).

Bài 5: Cho hàm số .

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số .

b) Dựa vào đồ thị , tìm tất cả các giá trị của  để phương trình  có 3 nghiệm phân biệt.

Bài 6: Cho hàm số  ( (với  là tham số).

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi .

b) Tìm  để đồ thị hàm số ( có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía trục tung.

Bài 7: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng , rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ bên dưới đây để có một cái hộp không nắp. 

a) Hãy thiết lập hàm số biểu thị thể tích hộp theo  .

b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số tìm được. Từ đó, tìm  để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.

DẠNG 1:

Bài 1:

a)

Tập xác định:

Ta có:

Hàm số đồng biến trên các khoảng  và , hàm số nghịch biến trên khoảng .

Hàm số đạt cực đại tại , hàm số đạt cực tiểu tại .

,

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số đi qua điểm .

Đồ thị hàm số nhận điểm  làm tâm đối xứng.

b)

Tập xác định:

Ta có:

Hàm số đồng biến trên các khoảng  và , hàm số nghịch biến trên khoảng .

Hàm số đạt cực đại tại , hàm số đạt cực tiểu tại .

,

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số đi qua điểm .

Đồ thị hàm số nhận điểm  làm tâm đối xứng.

c)

Tập xác định:

Ta có:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng  và

Hàm số không có cực trị.

,

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số đi qua điểm .

Đồ thị hàm số nhận điểm  làm tâm đối xứng.

d)

Tập xác định:

Ta có:

Hàm số đồng biến trên các khoảng  và , hàm số nghịch biến trên khoảng .

Hàm số đạt cực đại tại , hàm số đạt cực tiểu tại .

,

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Bài 2:

a) Khi  hàm số trở thành: .

Tập xác định:

Ta có:

Hàm số đồng biến trên các khoảng  và , hàm số nghịch biến trên khoảng .

Hàm số đạt cực đại tại , hàm số đạt cực tiểu tại .

,

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số đi qua điểm .

Đồ thị hàm số nhận điểm  làm tâm đối xứng.

b) Hàm số

Ta có:

Để hàm số đồng biến trên khoảng 

Xét

Bảng biến thiên:

Nhìn vào bảng biến thiên, ta thấy:

Vậy  thì hàm số đã cho đồng biến trên khoảng .

Bài 3: Hàm số:

Tập xác định:

Ta có:

Hàm số đồng biến trên các khoảng  và , hàm số nghịch biến trên khoảng .

Hàm số đạt cực đại tại , hàm số đạt cực tiểu tại .

,

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số đi qua điểm

b) Ta có:

Đường thẳng  có hệ số góc là .

Do tiếp tuyến song song với đường thẳng  nên:

Với   phương trình tiếp tuyến là: .

Với   phương trình tiếp tuyến là: .

Thử lại, ta được  thỏa mãn yêu cầu bài toán. 

Bài 4:

a) Với  thì hàm số có dạng

Tập xác định:

Ta có:

Hàm số đồng biến trên các khoảng  và , hàm số nghịch biến trên khoảng .

Hàm số đạt cực đại tại , hàm số đạt cực tiểu tại .

,

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số cắt  tại điểm và cắt trụ  tại điểm .

Đồ thị nhận điểm  làm tâm đối xứng.

b) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:

Hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt  khi phương trình  có hai nghiệm phân biệt và khác 0.

Ta có:

Giả sử , với  là hai nghiệm của phương trình .

Theo định lý vi-ét ta có:

Ta có:

Đối chiếu với điều kiện ta được  là các giá trị thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bài 5:

Tập xác định:

Ta có:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng  và , hàm số đồng biến trên khoảng .

Hàm số đạt cực đại tại , hàm số đạt cực tiểu tại .

,

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Đồ thị hàm số nhận điểm  làm tâm đối xứng.

b) Ta có:

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số  và đường thẳng .

Dựa vào đồ thị , ta suy ra phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt .

Bài 6:

Với  hàm số có dạng

Tập xác định:

Ta có:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng  và , hàm số đồng biến trên khoảng .

Hàm số đạt cực đại tại , hàm số đạt cực tiểu tại .

,

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Đồ thị hàm số nhận điểm  là tâm đối xứng.

b) Ta có:

Để hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung khi:

có hai nghiệm trái dấu

Vậy .

Bài 7:

a) Ta nhận thấy cạnh hình vuông đã cắt chính là chiều cao của hình hộp được tạo thành.

Sau khi cắt bỏ đi các hình vuông nhỏ thì đáy hình hộp là một hình vuông có cạnh .

Thể tích khối hộp là hàm số:  với ,

b) 

Ta có:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  và hàm số nghịch biến trên khoảng .

Hàm số đạt cực đại tại .

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Từ đồ thị hàm số, thể tích khối hộp lớn nhất khi và chỉ khi .

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2

DẠNG 2: Khảo sát hàm số  và các dạng toán liên quan.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2: Xét sự biến thiên của hàm số

• Tìm đạo hàm , xét dấu , xác định khoảng đơn điệu của hàm số.

• Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

• Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 3: Vẽ đồ thị của hàm số

• Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

• Vẽ đồ thị hàm số.

Bài 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) ;	b) ;
c)	c) .

Bài 2: Cho hàm số  (1)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (1).

b) Tìm hai điểm  thuộc đồ thị  sao cho tiếp tuyến của đồ thị  tại các điểm đó song song với nhau, đồng thời ba điểm  tạo thành tam giác vuông tại

Bài 3: Cho hàm số

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.

b) Tìm  để đường thẳng  cắt  tại hai điểm phân biệt  sao cho .

Bài 4: Cho hàm số

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1).

b) Tìm điểm  thuộc (1) có tổng khoảng cách đến 2 trục tọa độ đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 5: Cho hàm số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị .

b) Tìm các giá trị của   để phương trình  có hai nghiệm phân biệt.

c) Tìm hai điểm trên hai nhánh khác nhau của đồ thị  sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất.