Giáo án dạy thêm Toán 12 chân trời Bài 1: Nguyên hàm

PHIẾU BÀI TẬP

Bài 1. Chứng minh rằng:

a) Hàm số là một nguyên hàm của hàm số trên .

b) Hàm số là một nguyên hàm của hàm số trên .

Bài 2. Tìm:

a)                                               b)

c)

HOẠT ĐỘNG CỦA GV - HS

DỰ KIẾN SẢN PHẨM

Bước 1: GV chuyển giao nhiệm vụ học tập

- GV đặt câu hỏi và cùng HS nhắc lại kiến thức phần lí thuyết cần ghi nhớ trong bài “Nguyên hàm” trước khi thực hiện các phiếu bài tập.

1. Nhắc lại khái niệm nguyên hàm của một hàm số.

2. Trình bày nguyên hàm của một số hàm số thường gặp.

3. Trình bày các tính chất cơ bản của nguyên hàm.

Bước 2: Học sinh thực hiện nhiệm vụ học tập

- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

Bước 3: Báo cáo kết quả hoạt động, thảo luận

Đại diện một số HS đứng tại chỗ trình bày kết quả.

Bước 4: Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập 

GV đưa ra nhận xét, đánh giá, chuẩn kiến thức.

1. Nguyên hàm của một hàm số

Khái niệm: Cho hàm số xác định trên (hoặc một khoảng hoặc đoạn, hoặc một nửa khoảng của ). Hàm số được gọi là một nguyên hàm của hàm số trên nếu với mọi thuộc .

Nhận xét: Cho hàm số   là một nguyên hàm của trên . Khi đó:

• Với mỗi hằng số , hàm số cũng là một nguyên hàm của trên .

• Nếu hàm số là một nguyên hàm của trên thì tồn tại một hằng số sao cho với mọi .

Như vậy, nếu là một nguyên hàm của trên thì mọi nguyên hàm của trên đều có dạng   ( là hằng số). Ta gọi là họ các nguyên hàm của trên , kí hiệu bới và viết:

.

Chú ý:

a) Biểu thức gọi và vi phân của nguyên hàm của , kí hiệu .

Vậy

b) Mọi hàm số liên tục trên đều có nguyên hàm trên . Bài toán tìm nguyên hàm của một hàm số mà không chỉ rõ khoảng thì được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của hàm số đó.

c) Từ định nghĩa nguyên hàm, ta có

Ví dụ 1: Chứng minh rằng hàm số là một nguyên hàm của hàm số trên .

Giải

Do nên hàm số là một nguyên hàm của hàm số trên .

2. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

a) Nguyên hàm của hàm số lũy thừa

b) Nguyên hàm của hàm số

c) Nguyên hàm của hàm số lượng giác 

d) Nguyên hàm của hàm số mũ

Ví dụ 2: Tìm các nguyên hàm sau:

a)

b)

c)

Giải

a)

b)

c)

3. Tính chất cơ bản của nguyên hàm

Với là hàm số liên tục trên , ta có:

1. 

2. .

3. .

Ví dụ 3: Tìm các nguyên hàm sau:

a)

b)

c)

Giải

a)

b)

c)

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Áp dụng định nghĩa

Phương pháp giải: 

Cho hàm số xác định trên một khoảng (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số được gọi là một nguyên hàm của hàm số trên nếu với mọi thuộc .

Bài 1. Chứng minh là một nguyên hàm của hàm số trên .

Bài 2. Trong mỗi trường hợp sau, hàm số có là một nguyên hàm của hàm số  không? Vì sao?

a) và trên  

b) và trên  .

Bài 3. Chứng minh rằng:

a) Hàm số là một nguyên hàm của hàm số trên .

b) Hàm số là một nguyên hàm của hàm số trên  .

Bài 4. Chứng minh rằng:

a) Hàm số là một nguyên hàm của hàm số trên  .

b) Hàm số là một nguyên hàm của hàm số trên  .

DẠNG 1:

Bài 1. 

Ta có: với mọi thuộc  .

Vậy là một nguyên hàm của hàm số trên  .

Bài 2. 

a) Vì nên hàm số là một nguyên hàm của hàm số trên  .

b) Vì nên hàm số không là một nguyên hàm của hàm số trên  .

 Bài 3.

a) Ta có: với mọi .

Vậy là một nguyên hàm của hàm số trên  .

b) Ta có: với mọi .

Vậy là một nguyên hàm của hàm số trên .

Bài 4. 

a) Ta có: .

Vậy là một nguyên hàm của hàm số trên .

b) Ta có: .

Vậy là một nguyên hàm của hàm số trên  .

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2

DẠNG 2: Tìm nguyên hàm của hàm số lũy thừa 

Phương pháp giải: 

Để tính nguyên hàm của các hàm đa thức, phân thức ta cần sử dụng các công thức sau:

Bài 1. Tìm các nguyên hàm sau:

a)

b)

d)

e)

f)

Bài 2. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:

a)  

b)  

c)  

d)

e)  

f)  

Bài 3. 

a) Cho hàm số:  . Gọi là một nguyên hàm của hàm số biết . Tìm hàm

b) Cho hàm số: . Gọi là một nguyên hàm của hàm số biết . Tìm hàm

Bài 4.         

a) Biết một nguyên hàm của hàm số là . Tìm giá trị của hàm số tại

b) Biết một nguyên hàm của hàm số là . Tìm giá trị của hàm số tại

DẠNG 2:

Bài 1. 

a) .

b) .

.

d)

e) .

f)

Bài 2. 

a)  .

b) Đkxđ .

 .

c)  .

d) Đkxđ .

.

e) Đkxđ .

.

f) Đkxđ .

.

Bài 3. 

a) Đkxđ .

 .

Suy ra .

Vì nên .

Vậy hàm số cần tìm là .

b) Đkxđ .

Suy ra .

Vì nên .

Vậy hàm số cần tìm là .

Bài 4.

a) Do là một nguyên hàm của hàm số nên ta có:

.

b) Do là một nguyên hàm của hàm số nên ta có:

DẠNG 3: Nguyên hàm của hàm số lượng giác

Phương pháp giải: 

Để tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác ta cần sử dụng các công thức sau:

………………….