Giáo án dạy thêm Toán 12 chân trời Bài 2: Toạ độ của vectơ trong không gian

HOẠT ĐỘNG CỦA GV- HS

Bước 1: GV chuyển giao nhiệm vụ học tập.

GV đặt câu hỏi và cùng HS nhắc lại kiến thức phần lí thuyết cần ghi nhớ trong bài “Vectơ và các phép toán trong không gian” trước khi thực hiện các phiếu bài tập.

• Nhắc lại khái niệm về hệ trục tọa độ trong không gian.

• Thực hiện ví dụ 1:

• Nhắc lại định nghĩa tọa độ điểm, tọa độ vectơ trong không gian.

Bước 2: Học sinh thực hiện nhiệm vụ học tập.

- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

Bước 3: Báo cáo kết quả hoạt động, thảo luận.

- Đại diện một số HS đứng tại chỗ trình bày kết quả.

Bước 4: Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập.

- GV đưa ra nhận xét, đánh giá chuẩn kiến thức.

1. Hệ tọa độ trong không gian

Trong không gian, cho ba trục  đôi một vuông góc. Gọi  lần lượt là ba vectơ đơn vị trên các trục  Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông góc  trong không gian hay gọi đơn giản là hệ tọa độ .

Nhận xét:

a) Điểm  được gọi là gốc tọa độ.

Các trục  được gọi là các trục tọa độ.

Các mặt phẳng  đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ.

Không gian với hệ tọa độ  còn được gọi là không gian .

b) Vì  là ba vectơ đơn vị đôi một vuông góc với nhau nên ta có:

và .

Ví dụ 1: Cho hình lập phương có các cạnh bằng 1. Vẽ hệ trục tọa độ  có gốc  trùng với điểm , các điểm  lần lượt nằm trên các tia  và chỉ ra các vectơ đơn vị trên các trục tọa độ.

Đáp án:

Các vectơ đơn vị là .

2. Tọa độ của điểm và vectơ

a) Tọa độ của điểm

Định nghĩa

Trong không gian , cho điểm . Nếu  thì ta gọi bộ ba số  là tọa độ của điểm đối với hệ trục tọa độ  và viết  hoặc ;  là hoành độ,  là tung độ,  là cao độ của điểm .

Ví dụ: Trên hệ trục tọa độ , điểm . Khi đó tọa độ của điểm  là gì?

Đáp án:

Tọa độ điểm  là: .

b) Tọa độ của vectơ

Định nghĩa

Trong không gian , cho vectơ . Nếu  thì ta gọi bộ ba số  là tọa độ của vectơ  đối với hệ tọa độ  và viết  hoặc . 

Nhận xét: Trong không gian , ta có:

• Tọa độ của điểm  là tọa độ của vectơ , tức là .

• Điều kiện để hai vectơ bằng nhau:

Cho . Khi đó:

Ví dụ: Cho hình chóp  có  là hình vuông cạnh 1. Cạnh  vuông góc với mặt phẳng đáy và . Chọn hệ trục tọa độ có gốc tọa độ trùng với , các điểm  lần lượt nằm trên các tia . Tìm tọa độ của vectơ  với  là trung điểm

Đáp án:

Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có:

.

Vì là trung điểm của đoạn thẳng  nên

.

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Xác định tọa độ điểm

Phương pháp giải:

Trong không gian , cho điểm . Nếu  thì ta gọi bộ ba số  là tọa độ của điểm đối với hệ trục tọa độ  và viết  hoặc ;  là hoành độ,  là tung độ,  là cao độ của điểm .

Bài 1. Trong không gian , biết .

a) Tìm tọa độ điểm .

b) Tìm hình chiếu vuông góc của  trên trục .

c) Tìm hình chiếu vuông góc của  trên mặt phẳng tọa độ .

Bài 2: Cho hình hộp chữ nhật  có cạnh . Chọn hệ trục tọa độ  có gốc tọa độ trùng với điểm ; các điểm  lần lượt nằm trên các trục . Xác định tọa độ các điểm là đỉnh của hình hộp chữ nhật.

Bài 3: Cho hình chóp  có đáy  là hình vuông cạnh 1.  vuông góc với mặt phẳng đáy với  là giao điềm của  và . Biết rằng  tạo với đáy một góc . Chọn hệ trục tọa độ  có gốc tọa độ trùng với điểm A; các điểm lần lượt nằm trên các tia . Tìm tọa độ các điểm .

Bài 4: Trong không gian , xác định tọa độ điểm  trong mỗi trường hợp sau:

a)  trùng với gốc tọa độ.

b)  nằm trên tia  và .

c)  nằm trên tia đối của tia  và .

Bài 5: Trong không gian , cho hình hộp chữ nhật  có đỉnh  trùng với gốc tọa độ và các đỉnh  có tọa độ lần lượt là , . Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp chữ nhật.

Bài 6: Vị trí của tàu ngầm được xác định bởi điểm  trong không gian  như hình vẽ. Hiện tại chiếc tàu ngầm đang cách mặt nước là . Gọi  là hình chiếu vuông góc của  lên mặt phẳng . Cho biết . Tìm tọa độ của tàu ngầm.

DẠNG 1:

Bài 1:

a) Ta có: 

b) Ta có hình chiếu của điểm  trên trục  là .

c) Hình chiếu của điểm  trên mặt phẳng tọa độ  là .

Bài 2:

Ta có:

• trùng với gốc tọa độ nên .
• nên tọa độ của là:
• nên tọa độ của  là: .
• nên tọa độ của  là: .

Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có:

Áp dụng quy tắc hình hộp, ta có:

Bài 3:

Vì

là tam giác vuông cân tại .

Vì  là hình vuông cạnh 1 

Gọi  là hình chiếu vuông góc lên .

Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có: 

Vì  là trung điểm của  ta có:

Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có: 

Bài 4:

a) Trong không gian  có trùng với gốc tọa độ .

b) Vì  nằm trên tia  nên

Mà .

c) Vì  nằm trên tia đối của tia  nên

Mà .

Bài 5:

Vì nên nằm trên trục  và nên nằm trên trục  và và nên nằm trên trục  và .

Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có:

Áp dụng quy tắc hình hộp, ta có:

Bài 6:

Vì tàu ngầm đang cách mặt nước là  nên .

Xét vuông tại  có:

Xét vuông tại  có:

Gọi  là hình chiếu của  trên 

Áp dụng quy tắc hình hộp ta có:

Vậy tàu ngầm đang ở vị trí có tọa độ là .

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2

DẠNG 2: Xác định tọa độ vectơ

Phương pháp giải:

Trong không gian , cho vectơ . Nếu  thì ta gọi bộ ba số  là tọa độ của vectơ  đối với hệ tọa độ  và viết  hoặc . 

Bài 1: Trong không gian , biết:

a) . Tìm tọa độ các vectơ .

b) Cho hai vectơ  và . Tính  theo các vectơ .

Bài 2: 

...............