Giáo án dạy thêm Toán 12 chân trời Bài 1: Vectơ và các phép toán trong không gian

HOẠT ĐỘNG CỦA GV- HS

Bước 1: GV chuyển giao nhiệm vụ học tập.

GV đặt câu hỏi và cùng HS nhắc lại kiến thức phần lí thuyết cần ghi nhớ trong bài “Vectơ và các phép toán trong không gian” trước khi thực hiện các phiếu bài tập.

• Nhắc lại khái niệm vectơ trong không gian.

• Nêu các quy tắc tổng, hiệu của hai vectơ, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp.

• Nhắc lại công thức tính tích của một số với một vectơ trong không gian.

• Công thức tính tích vô hướng của hai vectơ là gì? Công thức tính góc giữa hai vectơ trong không gian?

Bước 2: Học sinh thực hiện nhiệm vụ học tập.

- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

Bước 3: Báo cáo kết quả hoạt động, thảo luận.

- Đại diện một số HS đứng tại chỗ trình bày kết quả.

Bước 4: Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập.

- GV đưa ra nhận xét, đánh giá chuẩn kiến thức.

1. Vectơ trong không gian

Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.

Chú ý: 

• Kí hiệu  chỉ vectơ có điểm đầu , điểm cuối .

• Nếu không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối thì vectơ còn được kí hiệu là

• Trong không gian, các khái niệm có liên quan đến vectơ như giá của vectơ; độ dài của vectơ; hai vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng, bằng nhau, đối nhau; vectơ – không được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng.

Ví dụ: Cho hình lập phương .

a) Vectơ nào cùng hướng với vectơ ?

b) Vectơ nào ngược hướng với vectơ ?

c) Vectơ nào bằng với vectơ ?

Đáp án:

a) Vectơ cùng hướng với vectơ là , , .

b) Vectơ ngược hướng với vectơ là  , , .

c) Vectơ bằng với vectơ là  .

Chú ý: Trong không gian, cho điểm  và vectơ , tồn tại duy nhất điểm  để .

2. Tổng và hiệu của hai vectơ

Tổng của hai vectơ

Trong không gian, cho hai vectơ . Lấy điểm  bất kì và hai điểm  sao cho , . Ta gọi  là tổng của hai vectơ  và , kí hiệu .

Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.

Nhận xét: Phép cộng vectơ trong không gian cũng có các tính chất như phép cộng vectơ trong mặt phẳng.

- Tính chất giao hoán: ;

- Tính chất kết hợp: ;

- Với mọi vectơ , ta luôn có: .

Quy tắc hình bình hành

Quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành vẫn đúng với các vectơ trong không gian.

• Với ba điểm  ta có:

• Nếu  là hình bình hành thì ta có:

Ví dụ: Cho hình lăng trụ Tìm các vectơ tổng  .

Đáp án:

Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có:

Quy tắc hình hộp

Cho hình hộp . Ta có:

Ví dụ: Cho hình hộp chữ nhật  Tìm vectơ ?

Áp dụng quy tắc hình hộp, ta có:

Hiệu của hai vectơ

Trong không gian, cho hai vectơ  . Ta gọi  là hiệu của hai vectơ và , kí hiệu .

Quy tắc hiệu: Trong không gian, với ba điểm   ta có:

Ví dụ: Cho hình chóp  có đáy là hình bình hành. Tìm vectơ hiệu

Do  là hình bình hành nên ta có:

Khi đó:

3. Tích của một số với một vectơ

Trong không gian, cho số thực  và vectơ .

Tích của số  với vectơ  là một vectơ, kí hiệu , cùng hướng với  nếu , ngược hướng với  nếu  và có độ dài bằng .

Phép lấy tích của một số với một vectơ được gọi là phép nhân một số với một vectơ.

Quy ước:  và .

Ví dụ: Cho tứ diện . Gọi  lần lượt là trunh điểm của . Cho  là trung điểm của . Chứng minh rằng:  

Với mọi điểm  trong khoonhg gian.

Đáp án:

Ta có: 

Vì  là trung điểm của nên

      là trung điểm của nên

Mà  là trung điểm của  nên .

 .

4. Tích vô hướng của hai vectơ

Góc giữa hai vectơ trong không gian

Trong không gian, cho  và  là hai vectơ khác . Lấy một điểm  bất kì, gọi  và  là hai điểm sao cho . Khi đó, ta gọi  là góc giữa hai vectơ  và , kí hiệu .

Nhận xét: 

• .

• Nếu   thì ta nói  và  vuông góc với nhau, kí hiệu .

Tích vô hương của hai vectơ

Trong không gian, cho hai vectơ  và  khác .

Tích vô hướng của hai vectơ  và  là một số, kí hiệu , được xác định bởi công thức

Ví dụ: Cho tứ diện  có các cạnh ,  đôi một vuông góc và . Gọi  là trung điểm của cạnh . Tính góc giữa hai vectơ và .

Đáp án:

Ta có:

Mặt khác:

Vì  đôi một vuông góc và  nên  và . 

Do đó: . 

Vậy .

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Xác định các yếu tố của vectơ

Phương pháp giải:

+ Dựa vào định nghĩa: Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.

• Kí hiệu  chỉ vectơ có điểm đầu , điểm cuối .

• Nếu không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối thì vectơ còn được kí hiệu là

+ Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Hai vectơ cùng phương thì có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

+ Hai vectơ  và  được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng. Kí hiệu: .

Bài 1. Cho hình hộp . Hãy kể tên các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp lần lượt bằng các vectơ .

Bài 2: Cho hình lăng trụ , chỉ ra các vectơ bằng nhau và có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của hình lăng trụ.

Bài 3: Cho hình lập phương . Gọi  lần lượt là các giao điểm của hai đường chéo của hai đáy. Hãy xác định các vectơ (khác ) có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của hình lập phương  sao cho:

a) bằng .                                                         b) bằng

DẠNG 1:

Bài 1:

Theo tính chất hình hộp, ta có:

Bài 2:

Áp dụng tính chất của hình lăng trụ, ta sẽ có:

Bài 3:

a) Ta có: .

b) Ta có: .

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2

DẠNG 2: Chứng minh đẳng thức vectơ

Phương pháp giải:

Để chứng minh đẳng thức vectơ ta thường sử dụng:

• Với ba điểm  ta có:

• Nếu  là hình bình hành thì ta có:

• Quy tắc hình hộp

Cho hình hộp . Ta có:

- Trong không gian, với ba điểm  ta có:

• Tính chất trung điểm đoạn thẳng:

Nếu  là trung điểm của đoạn thẳng  thì với mọi điểm  ta có:

• Tính chất trọng tâm tam giác:

Nếu  là trong tâm tam giác  thì với mọi điểm  ta có:

Bài 1: Cho tứ diện . Gọi  lần lượt là trung điểm của các cạnh  và  là trọng tâm tam giác . Chứng minh rằng:

a)

b)

c) .

Bài 2: Cho hình chóp  có đáy là hình bình hành. Chứng minh rằng: .

Bài 3: Gọi  lần lượt là trung điểm của các cạnh  và  của tứ giác . Gọi  là trung điểm của đoạn thẳng  và  là một điểm bất kì trong không gian. Chứng minh rằng:

Bài 4: Cho hình lăng trụ ,  là trung điểm của  . Chứng minh rằng:

Bài 5: Cho tứ diện . Gọi  lần lượt là trung điểm của  và . Trên các cạnh  và  lần lượt lấy các điểm  sao cho  Chứng minh rằng:  .

Bài 6: Cho hình lập phương  có cạnh bằng . Gọi  là trọng tâm của tam giác . Chứng minh:

DẠNG 2:

Bài 1:

a) Theo quy tắc ba điểm, ta có: .

Do đó:

b) Ta có:  và

Do đó:

Vì  là trung điểm của đoạn  nên  và  là trung điểm của đoạn  nên .

Do vậy: .

c) Ta có:

Vì  là trọng tâm của tam giác  nên

Suy ra  

…………………………