Giáo án Toán 12 chân trời Bài 3: Ứng dụng hình học của tích phân

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐKP1: tính và so sánh.

- HS nhắc lại về công thức tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số , trục hoành và hai đường thẳng

- Tổng quát, ta có thể tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số , trục hoành và hai đường thẳng

- HS quan sát Ví dụ 1:

Hình phẳng giới hạn bởi các đường nào?

Để tính tích phân trong bài này: ta quan sát hình vẽ, nhận thấy dấu của hàm thay đổi khi qua điểm , nên tách tích phân làm 2 tích phân.

- GV nêu chú ý.

- HS đọc Ví dụ 2:

Để xét dấu của hàm trong bài toán này ta quan sát đồ thị hình vẽ.

- HS làm Thực hành 1

+ HS có thể vẽ hình hoặc xét dấu hàm số trên đoạn [0;3].

- HS làm Thực hành 2:

Xét dấu của từ đó phá dấu trị tuyệt đối.

- HS thực hiện HĐKP 2:

a) Áp dụng tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng ; tính S(x).

b) Tính S.

- GV giới thiệu về cách tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số và hai đường thẳng .

- HS quan sát Ví dụ 3, 4, làm Thực hành 3, 4.

+ Ví dụ 3, 4: áp dụng công thức tìm diện tích

Nêu cách phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối trong mỗi trường hợp.

+ Thực hành 3: Tìm công thức tính diện tích. Rồi tính .

Xét dấu hàm bậc hai trên đoạn [1;4].

- Tương tự thực hiện với Thực hành 4.

- HS trao đổi làm Vận dụng 1.

+ GV hướng dẫn HS chọn hệ trục tọa độ để tìm hàm biểu diễn parabol và các đường thẳng giới hạn mặt cắt của cửa hầm.

Từ đó tính diện tích.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn. 

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

1. Tính diện tích hình phẳng

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của một hàm số, trục hoành và hai đường thẳng

HĐKP 1:

a) .

Vậy .
b)

.

Vậy .
c) .

Kết luận

Cho hàm số liên tục trên đoạn . Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số , trục hoành và hai đường thẳng được tính bởi công thức:

Ví dụ 1 (SGK -tr.22)

Chú ý:

Giả sử hàm số liên tục trên đoạn .
Nếu không đổi dấu trên đoạn thì

Nếu phương trình không có nghiệm trên khoảng thì công thức trên vẫn đúng.

Ví dụ 2 (SGK -tr.22)

Thực hành 1

Diện tích cần tìm là .
Ta có hoặc .
Vậy 

=

.

Thực hành 2

Ta có với mọi nên diện tích cần tìm là

.

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số và hai đường thẳng

HĐKP 2:

a) .

b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng , trục hoành và hai đường thẳng là .

Do đó .

Kết luận

Cho hai hàm số liên tuc trên đoạn . Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bời đồ thị của hai hàm số và hai đường thẳng được tính bởi công thức:

Ví dụ 3 (SGK -tr.23)

Ví dụ 4 (SGK -tr.24)

Thực hành 3

Diện tích cần tìm là .
Ta có hoặc .
Hàm số trên đoạn và trên đoạn nên

Thực hành 4

Diện tích cần tìm là .
Ta có hoặc . Phương trình chỉ có một nghiệm thuộc đoạn là .

Vì với mọi nên

.

Vận dụng 1

Chọn hệ trục có trục hoành dọc chân cửa hầm, trục tung đi qua đỉnh của hầm. Khi đó, phương trình của parabol có dạng .

Hoành độ giao điểm của parabol và trục hoành là và .

Đáy hầm rộng 6 m nên . Từ đó, phương trình của parabol là .
Vậy diện tích của cửa hầm là

 .

 

HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐKP 3. Gợi ý:

a) Tính tỉ lệ theo x, h. Từ đó tính S(x) theo a, h, x.

b) Tính và so sánh.

HS nhắc lại công thức tính thể tích khối chóp.

GV giới thiệu về vật thể đang xét trong bài học.

- GV giới thiệu cách tính thể tích của vật thể thông qua tích phân.

- HS quan sát Ví dụ 5:

+ Chọn trục , xác định mặt phẳng vuông góc với trục, cắt lăng trụ theo mặt cắt tại điểm có diện tích

Tính diện tích

- HS thực hiện Thực hành 5 theo các bước như ở ví dụ.

- HS làm HĐKP4:

.................

2. Tính thể tích hình khối

HĐKP 3:

a) Ta có . 

Suy ra .

b) .

Thể tích của khối chóp là 

.
Vậy .

Trong không gian, cho một vật thể nằm trong khoảng không gian giữa hai mặt phẳng và cùng vuông góc với trục tại các điểm và . Mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ cắt vật thể theo mặt cắt có diện tích  

Khi đó, nếu là hàm số liên tục trên thì thể tích của vật thể được tính bằng công thức:

Ví dụ 5 (SGK -tr.25)

Thực hành 5

Đặt trục thẳng đứng, có gốc nằm trên mặt phẳng chứa đáy của bình như hình bên. Mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm cắt bình theo mặt cắt là hình vuông có diện tích

Dung tích của bình là:

Thể tích khối tròn xoay

.................