Giáo án dạy thêm Toán 12 cánh diều Bài 1: Nguyên hàm

HOẠT ĐỘNG CỦA GV - HS

DỰ KIẾN SẢN PHẨM

Bước 1: GV chuyển giao nhiệm vụ học tập

- GV đặt câu hỏi và cùng HS nhắc lại kiến thức phần lí thuyết cần ghi nhớ trong bài “Nguyên hàm” trước khi thực hiện các phiếu bài tập.

1. Nhắc lại khái niệm nguyên hàm của một hàm số.

2. Trình bày các tính chất cơ bản của nguyên hàm.

Bước 2: Học sinh thực hiện nhiệm vụ học tập

- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

Bước 3: Báo cáo kết quả hoạt động, thảo luận

Đại diện một số HS đứng tại chỗ trình bày kết quả.

Bước 4: Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập  

GV đưa ra nhận xét, đánh giá, chuẩn kiến thức.

1. Khái niệm nguyên hàm

Khái niệm

Kí hiệu  là một khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của .

Cho hàm số  xác trên . Hàm số  được gọi là nguyên hàm của hàm số  trên  nếu  với mọi  thuộc .

Tổng quát

Cho  là một khoảng, đoạn hoặc nửa đoạn của tập số thực .

Giả sử hàm số  là một nguyên hàm của hàm số  trên . Khi đó:

1. Với mỗi hằng số , hàm số  cũng là một nguyên hàm của hàm số  trên .

2. Ngược lại, với mỗi nguyên hàm  của hàm số  trên  thì tồn tại hằng số  sao cho  với mọi  thuộc .

Kí hiệu: Họ (hay tập hợp) tất cả các nguyên hàm của hàm số  trên  được kí hiệu là 

Nhận xét

• Nếu  là một nguyên hàm của hàm số  trên  thì mọi nguyên hàm của hàm số  trên  đều có dạng  với  là một hằng số. Vì vậy,

• Mọi hàm số liên tục trên  đều có nguyên hàm trên .

Chú ý: Biểu thức  gọi là vi phân của nguyên hàm , kí hiệu là . Vậy .

Ví dụ 1: Trong mỗi trường hợp sau, hàm số  có là một nguyên hàm của hàm số  trên khoảng tương ứng không? Vì sao?

a) và trên khoảng

b) và trên .

Giải

a) Với , ta có  nên hàm số  là một nguyên hàm của hàm số  trên khoảng .

b) Vì  nên hàm số  không là một nguyên hàm của hàm số  trên .

2. Tính chất của nguyên hàm

Cho  và  là hai hàm số liên tục trên ,  là một hằng số khác 0. Giả sử  là một nguyên hàm của  trên ,  là một nguyên hàm của  trên . Khi đó:

1. với là hằng số khác 0.

2. .

3. .

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a)

b)

Giải

a)

b)

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Áp dụng định nghĩa

Phương pháp giải: 

Cho hàm số  xác định trên một khoảng  (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số  được gọi là một nguyên hàm của hàm số  trên  nếu  với mọi  thuộc .

Bài 1. Chứng minh rằng:

a) là một nguyên hàm của hàm số  trên .

b) là một nguyên hàm của hàm số trên .

c) là một nguyên hàm của hàm số  với mọi . 

Bài 2. 

a) Cho . Tìm .

b) Cho . Tính .

Bài 3. Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại?

a) và

b) và

Bài 4. Tìm hàm số , biết một nguyên hàm của  là:

a)

b)

Bài 5. Biết  là một nguyên hàm của hàm số  trên  và hàm số liên tục trên . Tìm .

DẠNG 1:

Bài 1. 

a) Với , ta có  nên hàm số  là một nguyên hàm của hàm số  trên .

b) Với , ta có  nên hàm số  là một nguyên hàm của hàm số  trên .

c) Với , ta có  nên hàm số  là một nguyên hàm của hàm số  trên .

Bài 2. 

a) Ta có: suy ra .

Khi đó .

b) Ta có: suy ra .

Khi đó .

Vậy .

Bài 3. 

a) Ta có:

Vậy không phải là một nguyên hàm của hàm số .

b) Ta có:

Vậy là một nguyên hàm của hàm số .

Bài 4. 

a) Ta có:

Vậy .

b) Ta có:

Vậy .

Bài 5. 

Theo định nghĩa, nguyên hàm của hàm số  là , với  là hằng số.

Khi đó: .

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2

DẠNG 2: Nguyên hàm có điều kiện

Phương pháp giải: 

Bước 1: Tìm nguyên hàm của hàm số đã cho.

Bước 2: Dựa vào điều kiện của giả thiết  để tìm .

Bước 3: Kết luận.

…………………………