Giáo án Toán 12 cánh diều Bài 1: Nguyên hàm

Một hòn đá rơi từ mỏm đá có độ cao 150 m so với mặt đất theo phương thẳng đứng. Biết tốc độ rơi của hòn đá (tính theo đơn vị m/s) tại thời điểm (tính theo giây) được cho bởi công thức .

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- HS trả lời HĐ1.

- GV dẫn dắt: Cho hàm số . Do nên hàm số được gọi là nguyên hàm của hàm số trên khoảng .

Từ đó, GV giới thiệu khái niệm nguyên hàm của một hàm số.

- GV hướng dẫn Ví dụ 1:

Để chứng minh là một nguyên hàm của hàm số ta làm như thế nào?

- HS thực hiện Luyện tập 1 dựa theo ví dụ 1.

- GV cho HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành yêu cầu của HĐ2.

+ Tính để xét xem hai hàm số đó có phải nguyên hàm của không?

Từ đó nhận biết tập hợp các nguyên hàm của hàm số.

- GV cho HS khái quát về họ các nguyên hàm.

- HS quan sát Ví dụ 2:

Tìm một nguyên hàm của hàm từ đó xác định được họ các nguyên hàm của hàm số

- HS thực hiện Luyện tập 2:

- GV gới thiệu kí hiệu nguyên hàm.

+ GV chú ý cho HS:  Ta có

• HS tìm hiểu Ví dụ 3.

• HS áp dụng thực hiện Luyện tập 3.

• GV đặt câu hỏi: Tính và từ đó rút ra nhận xét. 

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn. 

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

I. Khái niệm nguyên hàm

HĐ1:

Kết luận

Kí hiệu là một khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của .

Cho hàm số xác trên . Hàm số được gọi là nguyên hàm của hàm số trên nếu với mọi thuộc .

Ví dụ 1 (SGK -tr.4)

Hướng dẫn giải: SGK – tr.4

Luyện tập 1

Hàm số là nguyên hàm của hàm số vì với mọi .

HĐ2

a) Ta có:

Do đó, cả hai hàm số và là nguyên hàm của hàm số trên .

b) Ta có: là một hằng số .

Tổng quát

Cho là một khoảng, đoạn hoặc nửa đoạn của tập số thực .

Giả sử hàm số là một nguyên hàm của hàm số trên . Khi đó:

1. Với mỗi hằng số , hàm số cũng là một nguyên hàm của hàm số trên .

2. Ngược lại, với mỗi nguyên hàm của hàm số trên thì tồn tại hằng số sao cho với mọi thuộc .

Ví dụ 2 (SGK -tr.4)

Hướng dẫn giải: SGK – tr.4

Luyện tập 2

Do nên là một nguyên hàm của hàm số trên .

Vậy mọi nguyên hàm của hàm số đều có dạng  , với là một hằng số.

Kết luận

Họ (hay tập hợp) tất cả các nguyên hàm của hàm số trên được kí hiệu là 

Nhận xét

• Nếu là một nguyên hàm của hàm số trên thì mọi nguyên hàm của hàm số trên đều có dạng   với là một hằng số. Vì vậy,

• Mọi hàm số liên tục trên đều có nguyên hàm trên .

Chú ý: Biểu thức gọi là vi phân của nguyên hàm , kí hiệu là . Vậy .

Ví dụ 3 (SGK -tr.5)

Hướng dẫn giải: SGK – tr.5

Luyện tập 3

Do nên là một nguyên hàm của hàm số trên .

Vậy .

Nhận xét: và nếu ta quy ước thì .

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS làm HĐ3:

+ Tính , từ đó xét xem có phải là nguyên hàm của  hàm số không?

+ Xét xem hay không? 

Từ đó có tính chất 1.

- HS đọc hiểu Ví dụ 4 và làm Luyện tập 4.

Áp dụng tính chất vừa học để hoàn thành yêu cầu đề bài.

- HS thực hiện HĐ4: 

+ Tính .  

+ Tính

+ So sánh và .

………………………….

II. Tính chất của nguyên hàm

HĐ3

a) Vì là một nguyên hàm của hàm số trên nên .

Suy ra

Vì là hằng số thực khác 0 nên .

Do đó,

Vậy là một nguyên hàm của hàm số trên .

b) Vì là một nguyên hàm của hàm số trên nên .

Lại có , lấy đạo hàm hai vế ta được .

Từ đó suy ra , tức là . Vậy là một nguyên hàm của hàm số trên

c) Từ câu a, ta có: .

Lại có , 

suy ra

Vì tùy ý thuộc   và nên tùy ý thuộc  .

Do đó, (2)

Từ (1) và (2), Suy ra . 

Tính chất 1

với là hằng số khác 0.
Ví dụ 4 (SGK -tr.6)

Hướng dẫn giải: SGK – tr.6

Luyện tập 4

Do nên là một nguyên hàm của hàm số trên .

Vậy .

HĐ4

a) Vì lần lượt là nguyên hàm của các hàm số trên nên ta suy ra .

Do đó,

Mà nên .

Từ đó suy ra là một nguyên hàm của hàm số trên .

b) Vì lần lượt là nguyên hàm của các hàm số trên nên ta suy ra .

Ta có

Suy ra

..

Vậy là một nguyên hàm của hàm số trên .

……………………