Giáo án Toán 12 cánh diều Bài 3: Tích phân

Họa sĩ thiết kế logo hình con cá cho một doanh nghiệp kinh doanh hải sản. Logo là hình phẳng giới hạn bởi hai parabol với các kích thước được cho trong Hình 3 (Đơn vị trên mỗi trục tọa độ là decimet).

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

NV1: Tìm hiểu bài toán dẫn tới khái niệm tích phân

- GV giới thiệu bài toán tính diện tích của những “hình thang cong”.

- HS thảo luận nhóm đôi, thực hiện yêu cầu của HĐ1.

Cho hàm số .

Xét hình phẳng gồm tất cả các điểm trên mặt phẳng tọa độ sao cho và .

Chia đoạn thành phần bằng nhau bởi các điểm chia:

+ GV hướng dẫn HS xác định kích thước của các hình chữ nhật.

+ Tính diện tích các hình chữ nhật dựng trên các đoạn thẳng

+ Tính tổng các diện tích của hình chữ nhật.

+ Thông qua HĐ1, GV giới thiệu với là một nguyên hàm của hàm số trên và được gọi là diện tích hình thang cong.

Từ đó, GV giới thiệu một tổng quát diện tích hình thang cong trong trường hợp là hàm số bất kì.

- GV hướng dẫn HS tìm hiểu Ví dụ 1:

+ HS áp dụng công thức tính diện tích hình thang để tính hình thang vuông .

+ Sử dụng nguyên hàm, tính .

- HS thực hiện Luyện tập 1.

NV2: Tìm hiểu định nghĩa tích phân

- HS thực hiện HĐ2.

- Từ đó, GV giới thiệu về định nghĩa tích phân.

- GV chú ý cho HS về các kí hiệu, quy ước.

+ GV yêu cầu HS tính , so sánh và  .

- HS quan sát, tìm hiểu Ví dụ 2, và thực hiện Luyện tập 2 trong SGK.

• GV nhấn mạnh cho HS: Tích phân không phụ thuộc vào biến số.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn. 

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

I. Định nghĩa tích phân

1. Bài toán dẫn tới khái niệm tích phân

a) .

….

b) .

Ta có:

Tổng quát

Cho hàm số liên tục, không âm trên đoạn .

Hình phẳng gồm các điểm có tọa độ sao cho và được gọi là hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số , trục và hai đường thẳng Bằng cách chia đoạn thành phần bằng nhau, ta lập được tổng tích phân cấp của hàm số trên đoạn là:

Nhận xét: Người ta chứng minh được rằng với là một nguyên hàm của hàm số trên đoạn . Hiệu được gọi là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số , trục và hai đường thẳng .

Ví dụ 1 (SGK -tr.19)

Hướng dẫn giải: SGK – tr.19

Luyện tập 1

a) Ta có:

b) Ta có:

Suy ra là một nguyên hàm của hàm số trên đoạn .

Ta có:

Vậy  .

2. Định nghĩa tích phân

HĐ2

a) Ta có:

 (do là hằng số).

Suy ra là các nguyên hàm của hàm số .

b) Ta có: 

;

.

Suy ra .

Định nghĩa

Cho là hàm số liên tục trên đoạn . Giả sử là một nguyên hàm của trên đoạn .

Hiệu số được gọi là tích phân từ đến của hàm số , kí hiệu là .

Chú ý:

• Kí hiệu và đọc là thế cận từ đến .

Vậy .

Gọi là dấu tích phân; là cận dưới,   là cận trên; là biểu thức dưới dấu tích phân và là hàm số dưới dấu tích phân.

• Ta quy ước:  .

Ví dụ 2 (SGK -tr.20)

Hướng dẫn giải: SGK – tr.20

Luyện tập 2

Chú ý: Tích phân của hàm số từ đến chỉ phụ thuộc vào và các cận mà không phụ thuộc vào biến số hay , nghĩ là .

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- HS thực hiện HĐ3.

Từ đó, GV nêu Tính chất 1.

• HS quan sát ví dụ 3, thực hiện Luyện tập 3 dựa theo ví dụ.

- HS thực hiện HĐ4: thực hiện tính và so sánh.

- Từ đó, GV giới thiệu Tính chất 2.

• HS quan sát ví dụ 4, thực hiện Luyện tập 4 dựa theo ví dụ.

- GV cho HS thực hiện HĐ5

- Từ đó, GV giới thiệu Tính chất 3.

- HS quan sát, tìm hiểu Ví dụ 5, và thực hiện Luyện tập 5 trong SGK.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn. 

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

II. Tính chất của tích phân

HĐ3

Ta có:

Vậy .

Tính chất 1

Cho hàm số liên tục trên đoạn . Khi đó:

( là hằng số).

Ví dụ 3 (SGK -tr.21)

Hướng dẫn giải: SGK – tr.21

Luyện tập 3

HĐ4

a) Ta có:

.

Suy ra

b)

;

Suy ra

Tính chất 2

Cho các hàm số liên tục trên đoạn . Khi đó, ta có:

;

;

Ví dụ 4 (SGK -tr.22)

Hướng dẫn giải: SGK – tr.22

Luyện tập 4

HĐ5

Ta có:

;

.

Suy ra .

Tính chất 3

Cho hàm số liên tục trên đoạn . Giả sử là số thực tùy ý thuộc đoạn . Khi đó, ta có:

Ví dụ 5 (SGK -tr.22)

Hướng dẫn giải: SGK – tr.22

Luyện tập 5

Ta có:

Khi đó: