Giáo án dạy thêm Toán 12 cánh diều Bài 3: Tích phân

HOẠT ĐỘNG CỦA GV - HS

DỰ KIẾN SẢN PHẨM

Bước 1: GV chuyển giao nhiệm vụ học tập

- GV đặt câu hỏi và cùng HS nhắc lại kiến thức phần lí thuyết cần ghi nhớ trong bài “Tích phân” trước khi thực hiện các phiếu bài tập.

1. Nhắc lại định nghĩa hình thang cong và diện tích hình thang cong. 

2. Nhắc lại định nghĩa tích phân và ý nghĩa hình học của tích phân.

3. Trình bày các tính chất cơ bản của tích phân.

4. Trình bày tích phân của một số hàng sơ cấp.

Bước 2: Học sinh thực hiện nhiệm vụ học tập

- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

Bước 3: Báo cáo kết quả hoạt động, thảo luận

Đại diện một số HS đứng tại chỗ trình bày kết quả.

Bước 4: Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập  

GV đưa ra nhận xét, đánh giá, chuẩn kiến thức.

I. Định nghĩa tích phân

1. Diện tích hình thang cong

Cho hàm số liên tục, không âm trên đoạn .

Hình phẳng gồm các điểm có tọa độ sao cho và được gọi là hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số , trục và hai đường thẳng Bằng cách chia đoạn thành phần bằng nhau, ta lập được tổng tích phân cấp của hàm số trên đoạn là:

Nhận xét: Người ta chứng minh được rằng với là một nguyên hàm của hàm số trên đoạn . Hiệu được gọi là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số , trục và hai đường thẳng .

Ví dụ 1: Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành, trục tung và đường thẳng .

Giải

có một nguyên hàm

Diện tích hình thang cong là (đvdt).

2. Khái niệm tích phân

Định nghĩa

Cho là hàm số liên tục trên đoạn . Giả sử là một nguyên hàm của trên đoạn .

Hiệu số được gọi là tích phân từ đến của hàm số , kí hiệu là .

Chú ý:

• Kí hiệu và đọc là thế cận từ đến .

Vậy .

Gọi là dấu tích phân; là cận dưới, là cận trên; là biểu thức dưới dấu tích phân và là hàm số dưới dấu tích phân.

• Ta quy ước: .

Ví dụ 2: Tính các tích phân sau:

a)

b)

Giải

a)

b)

II. Tính chất cơ bản của tích phân

Cho là các hàm số liên tục trên đoạn . Khi đó, ta có

1) (k là hằng só́);

2) ;

3) ;
4) .

Ví dụ 3: Cho và . Tính:

a)

b)

c)

d)

Giải

a)

.

b)

.

c)

d)

III. Tích phân của một số hàm sơ cấp

1. Tích phân của hàm số lũy thừa

Nhận xét: Với , ta có:

2. Tích phân của hàm số

Nhận xét: Với hàm số liên tục trên đoạn , ta có:

3. Tích phân của hàm số lượng giác

Nhận xét: 

• 

• 

• Với hàm số liên tục trên đoạn , ta có:

• Với hàm số liên tục trên đoạn , ta có:

4. Tích phân của hàm số mũ

 Nhận xét: Với , ta có:

Chú ý: Áp dụng công thức trên, ta có: 

Ví dụ 4: Tính các tích phân sau:

a)

b)

c)

Giải

a)

b)

c)

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Áp dụng định nghĩa và tính chất

Phương pháp giải: 

* Định nghĩa: .

* Áp dụng định nghĩa, tính chất và bảng công thức nguyên hàm cơ bản.

1) (tính phân có hai cận giống nhau thì bằng 0)

2)

3) với .

4)

5) Trong đoạn , tồn tại thì .

* Ý nghĩa hình học của tích phân:

Nếu hàm số liên tục và không âm trên đoạn thì diện tích của hình thang cong giới hạn bởi: đồ thị hàm số , trục hoành, hai đường thẳng .

Vậy .

Bài 1. Tính các tích phân sau đây:

Bài 2. Tính các tích phân sau đây:

Bài 3. Tính các tích phân sau đây:

Bài 4. Cho các hàm số liên tục trên đoạn thỏa mãn và . Tính:

a)

b)

Bài 5. 

a) Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng .

b) Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành, trục tung và đường thẳng .

c) Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng .

b) Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng .

DẠNG 1:

Bài 1. 

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Bài 2. 

a)

b)

c)

d)

Bài 3. 

a)

b)

c)

d)

Bài 4. 

a) Ta có:

Suy ra

b)

Bài 5. 

a) Ta có:

Vậy hàm số có một nguyên hàm là .

Diện tích hình thang cong là: (đvdt)

b) Ta có:

Vậy hàm số có một nguyên hàm là

Diện tích hình thang cong là: (đvdt)

c) Ta có:

Vậy hàm số có một nguyên hàm là .

Diện tích hình thang cong là: (đvdt)

d) Ta có:

Vậy hàm số có một nguyên hàm là

Diện tích hình thang cong là: (đvdt)

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2

DẠNG 2: Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối và Tích phân nhiều hàm số.

Phương pháp giải: 

* Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

Cách 1:

Cho tìm nghiệm thuộc , giả sửu các nghiệm đó là . Khi đó:

Cách 2:

• Cho tìm nghiệm .

• Xét dấu trên .

• Áp dụng công thức phá trị tuyệt đối để phá trị tuyệt đối trong dấu tích phân.

• Tính mỗi tích phân thành phần.

* Tích phân hàm số cho bởi nhiều công thức

Cho hàm số liên tục trên . Tính .

Xét

Bước 1. Kiểm tra hàm số có liên tục tại ?

Bước 2. Tách cận:

Bước 3. Tích từng tích phân bằng các phương pháp đã học.

Bài 1. Tính các tích phân sau:

Bài 2. Tính các tích phân sau:

a)             b)

c)                                 d)

Bài 3. Cho hàm số . Tính tích phân ?

Bài 4. Cho hàm số . Tính .

Bài 5. Cho số thực và hàm số liên tục trên . Tính .