Giáo án Toán 12 chân trời Bài 2: Toạ độ của vectơ trong không gian

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, nghiên cứu HĐKP 1.

b) Nêu nhận xét về ba trục tọa độ .

- GV gọi 2 HS đứng tại chỗ trả lời hai ý a), b).

- GV nhận xét, rút ra kết luận và nêu nhận xét.

- GV đặt câu hỏi gợi mở và đưa ra nhận xét cho HS:

+ Điểm O được gọi là gì? Các trục tọa độ và mặt phẳng tọa độ của hệ trục tọa độ này là gì?

+ Tính và tích vô hướng của hai trong ba vectơ trên.

- GV cho HS thảo luận với bạn cùng bàn về Ví dụ 1. 

Cho tứ diện có đôi một vuông góc và có độ dài bằng 1. Vẽ hệ trục tọa độ có gốc tọa độ là , các điểm lần lượt nằm trên các tia và chỉ ra các vectơ đơn vị trên các trục tọa độ.

- GV yêu cầu HS làm cá nhân Thực hành 1.

Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng 1 (Hình 4). Vẽ hệ trục tọa độ có gốc tọa độ trùng với điểm , điểm lần lượt nằm trên các tia và chỉ ra các vectơ đơn vị trên các trục tọa độ.

Hình 4

+ GV gọi HS lên bảng vẽ hình và trình bày.

+ HS dưới lớp theo dõi, nhận xét.

+ GV chốt đáp án.

- GV cho HS thảo luận theo nhóm đôi hoàn thành yêu cầu của Vận dụng 1

Một thiết kế cơ khí trong Hình 5a được biểu diễn trong không gian như Hình 5b. 

a) Hãy vẽ ba vectơ đơn vị lần lượt trên ba trục tọa độ (mỗi vectơ đơn vị có độ dài bằng 1 m).

b) Biểu diễn  các vectơ  

theo .

+ GV hướng dẫn HS:

+ Điểm C nằm trên trục nào và bằng bao nhiêu lần độ dài vectơ đơn vị?

+ GV yêu cầu HS nhắc lại quy tắc hình bình hành? Từ đó biểu diễn trong mặt phẳng .

+ Tương tự, biểu diễn .

+ Có thể biểu diễn qua hai vectơ và không? 

• GV mời 2 bạn HS đứng tại chỗ trình bày bài, GV nhận xét chốt đáp án.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý lắng nghe, tiếp nhận kiến thức, hoành thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát, hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày.

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quá lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

1. Hệ tọa độ trong không gian

HĐKP 1

a) Ba vectơ có phương đôi một vuông góc với nhau và độ dài ba vectơ đều bằng 1.

b) Ba trục tọa độ đôi một vuông góc với nhau.

Kết luận

Trong không gian, cho ba trục đôi một vuông góc. Gọi lần lượt là ba vectơ đơn vị trên các trục Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông góc trong không gian hay gọi đơn giản là hệ tọa độ .

Nhận xét:

a) Điểm được gọi là gốc tọa độ.

Các trục được gọi là các trục tọa độ.

Các mặt phẳng đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ.

Không gian với hệ tọa độ còn được gọi là không gian .

b) Vì là ba vectơ đơn vị đôi một vuông góc với nhau nên ta có:

và .

Ví dụ 1 (SGK – tr.53)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.53)

Thực hành 1 

Ta vẽ được hệ trục tọa độ như hình trên.

Ba vectơ đơn vị trên ba trục lần lượt là .

Vận dụng 1

a)

b) Ta có: và

Vậy .

+) Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có:

+) Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có:

+) Ta có: 

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

NV1: Tìm hiểu về Tọa độ của điểm

- GV cho HS nghiên cứu HĐKP 2.

Cho hình hộp chữ nhật   có cạnh . Vẽ ba vectơ đơn vị lần lượt trên các cạnh . Biểu diễn   theo ba vectơ .

Gợi ý: + GV yêu cầu HS nhắc lại về quy tắc hình hộp đã học trong bài “Vectơ trong không gian”. 

Từ đó áp dụng để biểu diễn .

- GV mời 1HS lên bảng trình bày bài.

- GV nhận xét bài và đưa ra kết luận: “Người ta chứng minh được rằng trong không gian , ứng với mỗi điểm tùy ý, có một bộ ba số duy nhất sao cho . Ngược lại, với bộ ba số , ta có một điểm duy nhất trong không gian thỏa mãn hệ thức .

- Từ kết luận trên, GV đặt câu hỏi: “Tọa độ của một điểm trong không gian là gì?”, rút ra định nghĩa về tọa độ của điểm trong không gian.

- GV cho HS thảo luận, nghiên cứu Ví dụ 2 theo nhóm đôi.

- GV cho HS làm cá nhận Thực hành 2.

Cho hình lập phương có cạnh bằng 5. Chọn hệ trục tọa độ có gốc tọa độ trùng với ; các điểm lần lượt nằm trên các tia . Xác định tọa độ các điểm . 

- GV chỉ định 3 HS lên bảng trình bày bài giải.

- HS dưới lớp nhận xét.

NV2: Tìm hiểu tọa độ của vectơ

- GV cho HS hoạt động nhóm đôi HĐKP 3

Trong không gian , cho vectơ . Vẽ điểm sao cho  . Gọi là tọa độ của điểm . Hãy biểu diễn theo ba vectơ đơn vị .

+ GV yêu cầu HS nhắc lại định nghĩa tọa độ điểm trong không gian tạo cơ sở để tìm tọa độ vectơ .

- GV chỉ định 1 HS lên bảng trình bày bài giải.

- GV nhận xét và kết luận: “Trong không gian , ứng với một vectơ tùy ý có một bộ ba số ) duy nhất sao cho .”

- GV đặt câu hỏi mở rộng, rút ra nhận xét.

+ Nếu điểm thì tọa độ của vectơ là gì?

+ Cho . Khi nào thì hai vectơ này bằng nhau?

- GV cho HS nghiên cứu Ví dụ 3 theo cặp đôi.

+ Biểu diễn vectơ theo các vectơ dựa vào quy tắc hình bình hành.

+ là trung điểm thì là đường gì? Áp dụng quy tắc hình bình hành để biểu diễn .

- GV cho HS làm cá nhân Thực hành 3.

Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng 2. vuông góc với mặt phẳng đáy có độ dài bằng 3 (Hình 11).

…………………..

2. Tọa độ của điểm và vectơ

a) Tọa độ của điểm

HĐKP 2

Ta có: 

.

Định nghĩa

Trong không gian , cho điểm . Nếu thì ta gọi bộ ba số là tọa độ của điểm đối với hệ trục tọa độ và viết hoặc ; là hoành độ,   là tung độ,   là cao độ của điểm .

Ví dụ 2 (SGK – tr.54)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.54)

Thực hành 2

Ta có:

, suy ra .

, suy ra .

, suy ra .

b) Tọa độ của vectơ

HĐKP 3

Vì nên  .

Suy ra,  .

Định nghĩa

Trong không gian , cho vectơ . Nếu thì ta gọi bộ ba số là tọa độ của vectơ đối với hệ tọa độ và viết hoặc . 

Nhận xét: Trong không gian , ta có:

• Tọa độ của điểm là tọa độ của vectơ , tức là .

• Điều kiện để hai vectơ bằng nhau:

Cho . Khi đó:

Ví dụ 3 (SGK – tr.55)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.55)

……………………….