Giáo án dạy thêm Toán 9 Cánh diều Bài 3: Tiếp tuyến của đường tròn

HOẠT ĐỘNG CỦA GV - HS

DỰ KIẾN SẢN PHẨM

Bước 1: GV chuyển giao nhiệm vụ học tập

- GV đặt câu hỏi và cùng HS nhắc lại kiến thức phần lí thuyết cần ghi nhớ trong bài “tiếp tuyến của đường tròn” trước khi thực hiện các phiếu bài tập:

+ Trình bày khái niệm tiếp tuyến của một đường tròn? Cho ví dụ minh họa?  

+ HS thực hiện ví dụ sau: Cho tam giác có . Vẽ đường tròn . Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn .

+ Trình bày tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau?

+ HS thực hiện ví dụ sau: Cho đường tròn (O), điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (M, N là các tiếp điểm).

a, Chứng minh rằng OA ⊥ MN

b, Vẽ đường kính NC. Chứng minh rằng MC // AO.

Bước 2: HS thực hiện nhiệm vụ, học tập

- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

Bước 3: Báo cáo kết quả hoạt động, thảo luận

đại diện một số HS đứng tại chỗ trình bày kết quả.

Bước 4: Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập

GV đưa ra nhận xét, đánh giá, chuẩn kiến thức.

I. Nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì đường thẳng đó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

Ví dụ:

Đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn => tại .

Định lí:

Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn.

Ví dụ:

Xét có:

Hay

=> vuông tại (định lí Pythagore đảo)

=>

Mà là bán kính đường tròn nên là tiếp tuyến của

II. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Định lí:

Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

+ Điểm đó cách đều hai tiếp điểm;

+ Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm đường tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến;

+ Tia kẻ từ tâm đường tròn đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

Ví dụ:

a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: và

=> cân tại có là phân giác cũng là đường cao

=> (1)

b) Xét có là đường kính của nên vuông tại

=> (2)

Từ (1)(2) => //

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Phương pháp giải:

- Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường tròn   đó.

- Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán   kính đi qua tiếp điểm. 

- Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

Bài 1: Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Gọi M  là trung điểm 

của AO. Vẽ đường tròn (M, MO), nó cắt đường tròn (O) tại hai điểm B và C. Chứng minh rằng AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O).  

Bài 2: Cho đường tròn (O) có bán kính OA, dây BC vuông góc với OA tại trung điểm 

M của OA. 

1. Tứ giác OCAB là hình gì? Vì sao? 

2. Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B, nó cắt đường thẳng OA tại E. Tính độ dài BE, 

biết OB = R

Bài 3: Cho tam giác ABC, vẽ các đường cao BM, CN cắt nhau tại H. 

1. Chứng minh rằng A, M, H, N cùng nằm trên một đường tròn tâm O. 

2. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh IM là tiếp tuyến của đường tròn (O).  

Bài 4: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Từ một điểm M trên nửa đường 

tròn ta vẽ tiếp tuyến xy. Kẻ AD ⊥ xy và BC ⊥ xy. 

a) Chứng minh MC = MD. 

b) Chứng minh tổng AD + BC có giá trị không phụ thuộc vị trí điểm M trên nửa đường 

tròn. 

c) Chứng minh đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB. 

d) Xác định vị trí điểm M để tứ giác ABCD có diện tích lớn nhất

Bài 5: . Cho hình thang vuông ABCD (), AB = 4 cm, BC = 13 cm, CD = 9 cm. 

1. Tính độ dài AD. 

2. Chứng minh rằng đường thẳng AD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.

Bài 1: 

Xét tam giác ABO có MA = MB = MO =

Suy ra tam giác ABO vuông tại B (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông).

=> AB ⊥ OB. 

Vậy AB là tiếp tuyến của đường tròn (O). 

Chứng minh tương tự, ta có AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Bài 2: 

1. Ta có  

cân tại có OM là đường cao => OM là trung tuyến =>

MA = MO (gt) 

=> là hình bình hành

Mà OA BC nên hình bình hành OCAB là hình thoi.

2. Xét tam giác OBA có OB = OA = R; OB = AB (vì tứ giác OCAB là hình thoi), suy ra OA = OB = AB. Do đó tam giác OAB là tam giác đều. 

Do BE là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên BE ⊥ OB, suy ra OBE vuông tại B. 

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có 

Bài 3: 

1. Lấy O là trung điểm của AH. 

Áp dụng định lý đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong giác AMH vuông tại M và tam giác ANH vuông tại N, ta có 

và

Do đó, . 

Vậy bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn tâm

2. Gọi K là giao điểm của AH và BC, ta có H là trực tâm của tam giác ABC nên AK ⊥ BC. 

 HBK vuông tại K =>

Mà (đối đỉnh) => (1)

vuông tại =>

=> cân tại

=> (2)

Theo chứng minh trên ta có: nên cân tại

=> (3)

Từ (1)(2)(3) ta có:

=>

Vậy là tiếp tuyến của đường tròn

Bài 4: 

1. Ta có: // BC // OM (cùng vuông góc với )

=> tứ giác ABCD là hình thang.

Lại có O là trung điểm của AB nên M là trung điểm của CD

Vậy MC = MD

2. Hình thang ABCD có M, O lần lượt là trung điểm của CD, AB nên MO là đường trung bình của hình thang ABCD. Do đó (không đổi)

3. Ta có cân tại nên

Lại có // => =>

Kẻ

Ta có: (cạnh huyền – góc nhọn)

=> MD = ME. Do đó E thuộc đường tròn đường kính CD

Vậy đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB.

4. Diện tích hình thang ABCD

Vì AB không đổi nên diện tích hình thang ABCD lớn nhất khi CD lớn nhất. 

Mà CD ≤ AB nên CD lớn nhất khi CD = AB, lúc đó M là điểm chính giữa nửa đường tròn đường kính AB. Vậy lớn nhất bằng khi M là điểm chính giữa nửa đường tròn đường kính AB.

Bài 5: 

1. Kẻ BH CD => Tứ giác ABHD có ba góc vuông => ABHD là hình chữ nhật.

Do đó DH = AB = 4 cm; HC = 9 – 4 = 5cm

Xét vuông tại H có:

Vậy

2. Gọi O là trung điểm của BC, đường tròn đường kính BC có tâm O, bán kính bằng

Kẻ ta có OK // AB // CD (cùng vuông góc với AD)

Vì là trung điểm của BC nên K là trung điểm của AD hay OK là đường trung bình của hình thang ABCD.

=>

Suy ra K thuộc đường tròn đường kính BC. 

Vậy (O) tiếp xúc với AD tại K. 

PHIỂU BÀI TẬP SỐ 2

DẠNG 2: Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Phương pháp giải:

Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì: 

a) Điểm đó cách đều hai tiếp điểm. 

b) Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến. 

c) Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

Bài 1: Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn vẽ hai 

tiếp tuyến AB, AC với đường tròn tâm O với B, C là tiếp điểm. 

1. Chứng minh AO là đường trung trực của BC. 

2. Kẻ đường kính CD của (O). Chứng minh BD song song với AO. 

3. Kẻ OM vuông góc với OB (M  thuộc AC). Chứng minh MO = MA. 

Bài 2: 

…………….