Giáo án dạy thêm Toán 9 Cánh diều Bài 1: Đường tròn. Vị trí tương đối của hai đường tròn

HOẠT ĐỘNG CỦA GV - HS

DỰ KIẾN SẢN PHẨM

Bước 1: GV chuyển giao nhiệm vụ học tập

- GV đặt câu hỏi và cùng HS nhắc lại kiến thức phần lí thuyết cần ghi nhớ trong bài “đường tròn và vị trí tương đối của hai đường tròn” trước khi thực hiện các phiếu bài tập:

+ Trình bày khái niệm đường tròn?

+ Một đường tròn được xác định khi nào?

+ Trình bày các vị trí tương đối của một điểm với một đường tròn?

+ HS thực hiện ví dụ sau: Cho đường tròn và một điểm M có khoảng cách đến là 5cm. Vẽ hình và xác định vị trí tương đối của M với (O),

+ Trình bày mối liên hệ giữa đường kính và dây cung trong đường tròn? Lấy ví dụ minh họa?

+ Nêu khái niệm tâm đối xứng của đường tròn?

+ Nêu khái niệm trục đối xứng của đường tròn?

+ HS thực hiện ví dụ sau: Cho đường tròn và dây cung . Vẽ đường thẳng là trung trục đoạn thẳng . Chứng minh rằng là trục đối xứng của .

+ Trình bày khái niệm hai đường tròn cắt nhau?

+ HS thực hiện ví dụ: Cho đường tròn và với . Hỏi hai đường tròn này có cắt nhau hay không?

+ Trình bày khái niệm hai đường tròn tiếp xúc nhau? Vẽ hình minh họa các trường hợp.

+ HS thực hiện ví dụ: Cho hai đường tròn và có và . Nếu và thì hai đường tròn đó có vị trí tương đối là gì?

+ Trình bày về vị trí tương đối của hai đường tròn trong trường hợp: Hai đường tròn không giao nhau? Vẽ hình minh họa các trường hợp?

+ HS thực hiện ví dụ sau: Cho hai đường tròn và

Biết rằng . Xét vị trí tương đối của hai đường tròn.

Bước 2: HS thực hiện nhiệm vụ, học tập

- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

Bước 3: Báo cáo kết quả hoạt động, thảo luận

đại diện một số HS đứng tại chỗ trình bày kết quả.

Bước 4: Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập

GV đưa ra nhận xét, đánh giá, chuẩn kiến thức.

I. Khái niệm đường tròn

Trong mặt phẳng, đường tròn tâm bán kính là tập hợp các điểm cách điểm một khoảng bằng , kí hiệu là .

Chú ý:

+ Một đường tròn hoàn toàn xác định khi biết tâm và bán kính.

+ Khi không quan tâm đến bán kính của đường tròn ta cũng có thể kí hiệu đường tròn là .

Nhận xét:

+ Khi điểm thuộc đường tròn , ta còn nói điểm nằm trên đường tròn hoặc đường tròn đi qua điểm . Ta có:

+ Khi điểm nằm trong đường tròn , ta có:

+ Khi điểm nằm ngoài đường tròn , ta có:

Ví dụ:

Ta thấy: hay  

Vậy nằm ngoài

II. Liên hệ giữa đường kính và dây của đường tròn

Chú ý:

+ Đoạn thẳng nối hai điểm phân biệt thuộc đường tròn được gọi là dây (hay dây cung) của đường tròn.

+ Dây đi qua tâm là đường kính của đường tròn. Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.

Ví dụ: đường tròn trên có:

+ Dây cung và đường kính

+ Đường kính cũng chính là dây cung

+ Dây > dây

III. Tính đối xứng của đường tròn

- Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.

Nhận xét: Điểm đối xứng của một điểm tùy ý trên đường tròn qua tâm của đường tròn cũng nằm trên đường tròn đó.

- Đường tròn là hình có trục đối xứng. Mỗi đường thẳng đi qua tâm là một trục đối xứng của đường tròn đó.

Ví dụ:

Ta có nên cân tại  

Lại có là trung trực của => đi qua

Do đó đi qua tâm đường tròn nên là trục đối xứng của .

IV. Vị trí tương đối của hai đường tròn

1. Hai đường tròn cắt nhau

Hai đường tròn có đúng hai điểm chung được gọi là hai đường tròn cắt nhau.

Nhận xét: Cho hai đường tròn và với . Người ta chứng minh được: Nếu hai đường tròn đó cắt nhau thì . Điều ngược lại cũng đúng.

Ví dụ:

Ta có bán kính đường tròn (O) và (O’) lần lượt là 10 và 4.

Ta có:

Suy ra nên

Vậy hai đường tròn cắt nhau.

2. Hai đường tròn tiếp xúc nhau

Hai đường tròn có đúng một điểm chung được gọi là hai đường tròn tiếp xúc nhau (tại điểm chung đó).

Điểm chung của hai đường tròn tiếp xúc nhau được gọi là tiếp điểm.

* Có hai trường hợp tiếp xúc nhau: Hai đường tròn tiếp xúc ngoài; Hai đường tròn tiếp xúc trong.

Nhận xét: Cho hai đường tròn và . Người ta chứng minh được các định nghĩa sau:

+ Nếu hai đường tròn đó tiếp xúc ngoài thì tiếp điểm nằm giữa và . Điều ngược lại cũng đúng.

+ Giả sử . Nếu hai đường tròn đó tiếp xúc trong thì điểm nằm giữa và . Điều ngược lại cũng đúng.

Ví dụ:

Ta có: ; ;

Nên suy ra hai đường tròn tiếp xúc trong.

3. Hai đường tròn không giao nhau

Hai đường tròn không có điểm chung được gọi là hai đường tròn không giao nhau.

* Ta có hai trường hợp về hai đường tròn không giao nhau: Hai đường tròn ở ngoài nhau; đường tròn đựng đường tròn .

Nhận xét: Cho hai đường tròn và . Người ta chứng minh được các khẳng định sau:

+ Nếu hai đường tròn ở ngoài nhau thì . Điều ngược lại cũng đúng.

+ Giả sử . Nếu đường tròn đựng đường tròn thì . Điều ngược lại cũng đúng.

Ví dụ:

Ta có: nên

Do nên

Vây hai đường tròn ở ngoài nhau.

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Đường tròn và tính chất đối xứng của đường tròn.

Phương pháp giải:

- Đường tròn tâm bán kính là hình gồm các điểm cách một khoảng bằng

- Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó. 

- Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn. 

- Tam giác vuông có cạnh huyền là đường kính của đường tròn thì 3 điểm của tam giác vuông đó thuộc đường trò đường kính là cạnh huyền.

Bài 1: Chứng minh các định lí sau:

a) Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền. 

b) Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông. 

Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12 cm, BC = 5 cm. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm và độ dài bán kính của đường  tròn đó. 

Bài 3: Cho tam giác vuông tại , điểm thuộc cạnh , điểm thuộc cạnh . Gọi lần lượt là trung điểm của . Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.

Bài 4: Cho tam giác ABC, các đường cao BH và CK. Chứng minh bốn điểm B, H, C, K thuộc cùng một đường tròn. Xác định tâm và bán kính đường tròn đó.

Bài 5: Cho đường tròn , một đường thẳng không đi qua tâm cắt tại và . Gọi là đường thẳng đi qua trung điểm của . Chứng minh là trục đối xứng của .