Giáo án dạy thêm Toán 9 Cánh diều Bài tập cuối chương VIII

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

Dạng 1. Đường tròn liên quan đến tứ giác nội tiếp đường tròn, chứng minh hệ
thức, trung điểm, tỉ lệ cạnh

Phương pháp giải:

• Sử dụng các định lí và hệ thức: Định lí Pytago, định lí Ta-let, hệ thức lượng trong tam giác vuông,...

• Sử dụng góc nội tiếp, góc ở tâm, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, tam giác đồng dạng.

Bài 1. Cho đường tròn  Từ một điểm  ở ngoài đường tròn  kẻ hai tiếp tuyến  với đường tròn  là hai tiếp điểm).

a) Chứng minh  là tứ giác nội tiếp.

b) Vẽ đường kính của đường tròn  . Chứng minh.

Bài 2. Cho nửa đường tròn  đường kính . Vẽ tia tiếp tuyến  cùng phía với nửa đường tròn đường kính . Lấy một điểm   trên tia  ( khác ). Vẽ tiếp tuyến   với nửa đường tròn  ( là tiếp điểm) Vẽ  cắt  tại ,  cắt nửa đường tròn  tại  ( khác ).

a) Chứng minh tứ giác  nội tiếp trong một đường tròn.

b) Chứng minh .

Bài 3. Cho tam giác  có ba góc nhọn, các đường cao  và  cắt nhau tại  ).

a) Chứng minh tứ giác  nội tiếp.

b) Kéo dài  cắt đường tròn đường kính  tại . Chứng minh .

c) Biết . Tính số đo góc  của tam giác .

Bài 4. Cho  và điểm  nằm bên ngoài đường tròn. Từ  kẻ các tiếp tuyến  với đường tròn  là các tiếp điểm). Một đường thẳng đi qua  cắt đường tròn  tại hai điểm  sao cho  nằm giữa  và , dây cung  không đi qua tâm . Gọi  là trung điểm của đoạn  là giao điểm của hai đường thẳng  và . Chứng minh rằng:

a)  cùng nằm trên một đường tròn và

b)  và

DẠNG 1.

Bài 1. 

a) Vì  là các tiếp tuyến của lần lượt tại  nên

Tứ giác  có  nên  là tứ giác nội tiếp.

b) (g-g) suy ra hay

Bài 2.

a) Vì  nên  thuộc trung trực của .

(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên  thuộc trung trực .

Suy ra là trung trực của . 

Suy ra  tại  hay .

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) suy ra .

vuông tại ,  vuông tại  nên  thuộc đường tròn đường kính  hay là tứ giác nội tiếp.

b)  (g-g) nên  (tỉ số đồng dạng) hay

Bài 3.

a)  nên

nên

Xét tứ giác :

Vì  nên  là tứ giác nội tiếp.

b) Xét tứ giác AFHN:

Vì  nên  là tứ giác nội tiếp.

Suy ra  (2 góc nội tiếp chắn cung ).

Vì  là tứ giác nội tiếp nên  (2 góc nội tiếp chắn cung ).

=  (cùng phụ

Suy ra

Gọi  là trung điểm .

 Xét

Vì    nên (2 góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau).

Suy ra  (2 cung chắn hai dây bằng nhau).

c) Xét và  có:

;

(2 góc cùng phụ với ;

.

Suy ra   (cạnh huyền góc nhọn) nên

Suy ra  cân tại .

Mà  nên hay .

Bài 4. 

a) Xét đường tròn : 

Vì  là trung điểm dây cung  nên  hay .

vuông tại  nên  thuộc đường tròn đường kính .

vuông tại  ( là tiếp tuyến của  nên  thuộc đường tròn đường kính .

vuông tại  (AN là tiếp tuyến của ) nên  thuộc đường tròn đường kính .

Suy ra  thuộc một đường tròn đường kính .

Vì  là tứ giác nội tiếp nên  (2 góc nội tiếp chắn cung )

Vì  là tứ giác nội tiếp nên  (2 góc nội tiếp chắn cung)

( (cạnh huyền-cạnh góc vuông))

Suy ra  hay

b) Xét và có chung ; .

Suy ra  (g-g).

Suy ra hay

Vì  (2 góc nội tiếp chắn cung ) nên

Mà .

Suy ra  hay .

(g-g) suy ra hay  (2).

Từ (1)(2) suy ra .

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2

Dạng 2.  Toán nâng cao và phát triển tư duy

Bài 1. Cho tam giác  vuông tại  nội tiếp . Kẻ đường kính . Tiếp tuyến của đường tròn  tại  cắt các đường thẳng  lần lượt tại  và .

a) Chứng minh hai tam giác  và đồng dạng với nhau.

b) Gọi  là trung điểm  và  là hình chiếu vuông góc của  trên cạnh . Chứng minh ba điểm  thẳng hàng.

Bài 2. Cho tam giác  có ba góc nhọn  và nội tiếp . Gọi  là các đường cao và  là trực tâm của tam giác .

a) Chứng minh  là tứ giác nội tiếp.

b) Đường tròn ngoại tiếp tứ giác  cắt đường tròn  tại điểm thứ hai  ( không trùng với ). Chứng minh hai tam giác và  đồng dạng với nhau.

c) Hai đường thẳng  và cắt nhau tại . Chứng minh ba điểm  thẳng hàng.

Bài 3. Trên nửa đường tròn tâm  đường kính , lấy điểm  ( khác  và ), từ  kẻ  vuông góc với  ( thuộc ). Gọi  là điểm bất kì trên đoạn  ( khác và ), đường thăng   cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai là .

a) Chứng minh tứ giác  nội tiếp.

b) Chứng minh .

c) Khi điểm di động trên nửa đường tròn ( khác  và điểm chính giữa cung ), xác định vị trí của điểm  sao cho chu vi tam giác  đạt giá trị lớn nhất.

Bài 4. Cho nửa đường tròn tâm  đường kính ,  là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn ( khác ). Tiếp tuyến tại  cắt các tiếp tuyến  của đường tròn lần lượt tại  và .

a) Chứng minh tứ giác  nội tiếp.

b) Chứng minh vuông góc với .

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác .