Giáo án dạy thêm Toán 9 Chân trời bài 3: Đa giác đều và phép quay

Bước 1: GV chuyển giao nhiệm vụ học tập

- GV đặt câu hỏi và cùng HS nhắc lại kiến thức phần lý thuyết cần ghi nhớ trong bài “ Đa giác đều và phép quay” trước khi thực hiện các phiếu bài tập.

1. Nhắc lại khái niệm đa giác đều.

2. Nhắc lại khái niệm phép quay thuận chiều, phép quay ngược chiều.

3. Nêu ví dụ  những hình phẳng có dạng đa giác đều trong tự nhiên, nghệ thuật, kiến trúc, công nghệ chế tạo…

Bước 2: Học sinh thực hiện nhiệm vụ học tập

- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

Bước 3: Báo cáo kết quả hoạt động, thảo luận

Đại diện một số HS đứng tại chỗ trình bày kết quả.

Bước 4: Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập 

GV đưa ra nhận xét, đánh giá, chuẩn kiến thức.

1. Khái niệm đa giác đều

• Định nghĩa: Đa giác lồi có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau gọi là đa giác đều.

• Chú ý:

• Đa giác đều có số cạnh bằng n được gọi là n-giác đều.

• Với n lần lượt bằng 3, 4, 5, 6... ta có tam giác đều, tứ giác đều (hình vuông), ngũ giác đều, lục giác đều,...

• Từ nay, khi nói đến đa giác mà không chú thích gì thêm, ta hiểu đó là đa giác lồi.

• Người ta chứng minh được, với mỗi đa giác đều có đúng một điểm cách đều tất cả các đỉnh của đa giác. Điểm gọi là tâm của đa giác đó.

Ví dụ: Tính tổng số đo các góc trong một ngũ giác đều.

Giải:

Cho ngũ giác ABCDE. Kẻ đường chéo EC.

.

2. Phép quay

•  Định nghĩa: 

• Phép quay thuận chiều α° (0° < α° < 360°) tâm giữ nguyên điểm , biến điểm khác điểm  thành điểm thuộc đường tròn sao cho khi tia quay thuận chiều kim đồng hồ đến tia thì điểm   tạo nên cung có số đo α°.

• Định nghĩa tương tự cho phép quay ngược chiều α° tâm . Phép quay 0° hay 360° giữ nguyên mọi điểm.

• Chú ý:

• Ta coi mỗi phép quay tâm biến thành chính nó.

• Nếu một phép quay biến các điểm trên hình ℋ thành các điểm thì các điểm tạo thành hình ℋ’’. Khi đó, ta nói phép quay biến hình ℋ thành hình ℋ’’. Nếu hình ℋ’’ trùng với hình ℋ thì ta nói phép quay biến hình ℋ thành chính nó.

Ví dụ: Cho đều. Có phép quay tâm nào biến điểm thành điểm không? Chỉ ra chiều quay và góc quay của phép quay đó nếu có.

Giải:

Vẽ (). Vì và nên phép quay cùng chiều tâm góc biến điểm thành .

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Đa giác đều

Bài 1. 

a) Tính số đo của mỗi góc của đa giác đều cạnh (

b) Tính số cạnh của một đa giác đều, biết mỗi góc của nó bằng 135°.

Bài 2. Cho đều, các đường cao cắt nhau tại . Gọi theo thứ tự là trung điểm của . Chứng minh rằng là lục giác đều.

Bài 3.

a) Tính số đường chéo của đa giác n cạnh.

b) Đa giác nào có số đường chéo bằng số cạnh ?

Bài 4. Người ta muốn làm một khay đựng bánh kẹo hình lục giác đều có cạnh 10 cm và chia thành 7 ngăn gồm một lục giác đều nhỏ và 6 hình thang cân như hình vẽ. Hỏi lục giác đều nhỏ phải có cạnh bằng bao nhiêu để nó có diện tích bằng hai lần diện tích của mỗi hình thang. 

DẠNG 1.

Bài 1. 

a) Giả sử đa giác cạnh là . Từ điểm ta kẻ được đường chéo của đa giác đó, dẫn đến ta chia được đa giác thành tam giác không có điểm chung trong đó. 

Do đó, tổng số đo góc của hình đa giác n cạnh () là

Số đo của mỗi góc của đa giác đều cạnh (là:.

b) Gọi là số cạnh của đa giác đều.

Áp dụng câu a ta có .

.

.

Suy ra .

Vậy đa giác đều có cạnh.

Bài 2.

Xét đều có các đường cao cắt nhau tại nên là giao điểm ba đường phân giác của .

Suy ra là phân giác .

Do đó .

Xét vuông tại có nên .

là trung tuyến ứng với cạnh ( là trung điểm ).

Suy ra .

Do đó, cân tại .

Mà  

Nên đều.

Chứng minh tương tự tam giác là các tam giác đều.

Lục giác có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau (bằng 120) nên là lục giác đều.

Bài 3. 

a) Từ mỗi đỉnh của hình n-giác lồi kẻ được đoạn thẳng đến các đỉnh còn lại, trong đó có hai đoạn thẳng của đa giác, đoạn thẳng là đường chéo.

Đa giác có đỉnh nên kẻ được   đường chéo, trong đó mỗi đường chéo tính 2 lần. Vậy số đường chéo của hình giác lồi là: .

b) Suy ra .

Vậy ngũ giác có số đường chéo bằng số cạnh.

Bài 4. 

Nối các cặp đỉnh đối diện của lục giác với nhau, ta được điểm là tâm của hình lục giác lớn và lục giác nhỏ.

Ta chia hình lục giác thành 6 tam giác đều chung đỉnh , 2 đỉnh còn lại là các đỉnh 2 đỉnh kề nhau của lục giác.

Lấy hai điểm là hai đỉnh kề nhau của lục giác nhỏ như hình vẽ. 

Đặt

Khi đó đều có .

(cm²).

Diện tích hình lục giác đều nhỏ là: (cm²).

Diện tích lục giác đều nhỏ bằng hai lần diện tích mỗi hình thang nên diện tích mỗi hình thang là: (cm²).

Suy ra tổng diện tích 6 hình thang là: (cm²).

Diện tích lục giác đều lớn = Diện tích lục giác đều nhỏ + Diện tích 6 hình thang = (cm²). (1)

Tương tự như diện tích lục giác đều nhỏ, ta cũng có thể tính được diện tích lục giác đều theo độ dài cạnh của nó theo công thức (cm²) với x là độ dài cạnh.

Diện tích lục giác đều lớn là (cm²). (2)

Từ (1)(2) suy ra

Vì nên

Vậy cạnh lục giác đều nhỏ là 5cm.

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2

DẠNG 2: Phép quay

Bài 1. Cho đều.

a) Xác định ảnh của điểm và cạnh qua phép quay ngược chiều tâm , góc quay 120.

b) Hãy chỉ thêm một phép quay biến điểm thành điểm .

Bài 2. Cho hình vuông là giao điểm hai đường chéo. Chỉ ra một phép quay biến hình vuông thành chính nó.

Bài 3. Cho lục giác đều , tâm . Hãy chỉ ra 3 phép quay giữ nguyên lục giác đều .

Bài 4. Điện gió, hay còn gọi là năng lượng gió, là một nguồn năng lượng tái tạo từ sức gió. Hình bên là một Tua-bin gió dùng để biến động năng (sức gió) thành cơ năng (điện). Hãy chỉ ra phép quay biến các cánh quạt của Tua-bin thành chính nó.