Giáo án dạy thêm Toán 12 cánh diều Bài 3: Phương trình mặt cầu

HOẠT ĐỘNG CỦA GV - HS

DỰ KIẾN SẢN PHẨM

Bước 1: GV chuyển giao nhiệm vụ học tập

- GV đặt câu hỏi và cùng HS nhắc lại kiến thức phần lí thuyết cần ghi nhớ trong bài “Phương trình mặt cầu” trước khi thực hiện các phiếu bài tập.

1. Trình bày định nghĩa mặt cầu.

2. Trình bày phương trình mặt cầu.

Bước 2: Học sinh thực hiện nhiệm vụ học tập

- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

Bước 3: Báo cáo kết quả hoạt động, thảo luận

Đại diện một số HS đứng tại chỗ trình bày kết quả.

Bước 4: Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập 

GV đưa ra nhận xét, đánh giá, chuẩn kiến thức.

1. Định nghĩa mặt cầu

Cho trước điểm và số dương . Mặt cầu tâm bán kính là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách điểm một khoảng bằng  

Nhận xét:

Điểm thuộc mặt cầu tâm bán kính khi và chỉ khi

Điểm nằm trong mặt cầu tâm bán kính khi và chỉ khi

Điểm nằm ngoài mặt cầu tâm bán kính khi và chỉ khi

Ví dụ 1: Xác định vị trí tương đối của điểm với mặt cầu tâm bán kính 3.

Giải:

nên điểm nằm ngoài mặt cầu tâm bán kính 3.

2. Phương trình mặt cầu

Phương trình của mặt cầu tâm bán kính là:

Nhận xét:

Cho mặt cầu tâm bán kính có phương trình là:

Ta có thể viết phương trình đó về dạng: với .

Vậy mỗi mặt cầu đều có phương trình dạng: .

Ngược lại, xét phương trình có dạng:.

Ta có: .

Do đó, phương trình xác định một mặt cầu khi và chỉ khi . Ngoài ra, nếu   thì phương trình đó xác định mặt  cầu tâm và bán kính

Ví dụ 2: Trong không gian , xác định tọa độ tâm và bán kính các mặt cầu sau:

a) .

b).

Giải:

a)

.

b)  

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Xác định tâm- bán kính- nhận biết phương trình mặt cầu

Phương pháp giải: 

Trong không gian , mặt cầu tâm bán kính có phương trình là:

Phương trình với là phương trình của mặt cầu tâm bán kính .

Bài 1. Trong không gian , cho các phương trình sau:

a)  

b)  

c)  

d)  

Có bao nhiêu phương trình mặt cầu ? Xác định tâm và bán kính của phương trình mặt cầu tìm được.

Bài 2. Trong không gian , tìm giá trị nguyên dương để các phương trình sau là phương trình mặt cầu.

a)  .

b)  

Bài 3. Trong không gian , cho hai điểm và . Chứng minh rằng nếu thỏa mãn thì thuộc một mặt cầu Tìm tâm và bán kính của mặt cầu

Bài 4. Trong không gian , cho hai điểm và . Điểm trong không gian thỏa mãn . Tính độ dài lớn nhất.

DẠNG 1:

Bài 1. 

a)  

không là phương trình mặt cầu.

b)  

Phương trình mặt cầu có tâm ; bán kính .

c)  

Phương trình mặt cầu có tâm bán kính .

d)  

Phương trình mặt cầu có tâm bán kính .

Bài 2.

a) Để phương trình là phương trình mặt cầu thì

Mà   là số nguyên dương nên .

b)  

Để phương trình trên là phương trình mặt cầu thì .

Vậy  .

Bài 3.

Vậy điểm thuộc mặt cầu tâm bán kính .

Bài 4.

Gọi

Như vậy, thuộc mặt cầu tâm bán kính .

.

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2

DẠNG 2: Vị trí tương đối liên quan đến mặt cầu 

Phương pháp giải:

Cho mặt cầu tâm bán kính mặt phẳng , đường thẳng và điểm

• Tính và so sánh với bán kính

Mặt phẳng không cắt mặt cầu.

Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu.

Mặt phẳng cắt mặt cầu.

• Xác định vị trí tương đối của đường thẳng với mặt cầu.

Bước 1. Thay từ phương trình tham số của vào phương trình khi đó ta được phương trình bậc hai theo ẩn

Bước 2: 

• Nếu phương trình bậc hai vô nghiệm thì không cắt

• Nếu phương trình bậc hai có một nghiệm thì tiếp xúc

• Nếu phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt thì cắt

• Tính và so sánh với bán kính .

Điểm nằm ngoài mặt cầu.

Điểm nằm trên mặt cầu.

Điểm nằm trong mặt cầu.

Bài 1. Trong không gian , cho mặt cầu và một điểm . Xét vị trí của điểm so với mặt cầu

Bài 2. Trong không gian , cho mặt cầu và mặt phẳng Xét vị trí mặt phẳng so với mặt cầu

Bài 3. Trong không gian , cho mặt cầu và đường thẳng . Tìm số điểm chung của và

Bài 4. Trong không gian , cho mặt cầu và mặt phẳng Tìm giá trị của để cắt

Bài 5. Trong không gian , cho mặt cầu và đường thẳng Tìm giá trị của   để tiếp xúc với mặt cầu

DẠNG 2:

Bài 1.

Mặt cầu có tâm và bán kính

.

Vậy điểm nằm trong mặt cầu .

Bài 2.

Mặt cầu có tâm , bán kính

Vậy mặt phẳng tiếp xúc với

Bài 3. 

.

Từ phương trình đường thẳng và mặt cầu ta có:

(*).

Phương trình (*) vô nghiệm nên và không có điểm chung.

Bài 4.

Mặt cầu có tâm , bán kính

Để cắt thì

.

Bài 5.

Từ phương trình đường thẳng d và mặt cầu (S) ta có:

(*)

Để tiếp xúc với thì phương trình (*) có một nghiệm hay (*) có .

vô lý.

Vậy không tồn tại để tiếp xúc với

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 3

DẠNG 3: Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính

Phương pháp giải:

Loại 1: Phương trình mặt cầu có tâm , bán kính là:

.

Loại 2: Mặt cầu có tâm đi qua  

Khi đó bán kính

Loại 3: Mặt cầu nhận làm đường kính biết và .

Khi đó là trung điểm

.

Bán kính mặt cầu .

Bài 1. Trong không gian viết phương trình các mặt cầu sau:

a) Tâm , bán kính .

b) Tâm , đường kính bằng 4

Bài 2. Trong không gian viết phương trình các mặt cầu sau:

a) Tâm đi qua gốc tọa độ.

b) Tâm đi qua điểm

Bài 3. Trong không gian , cho hai điểm và Viết phương trình mặt cầu đường kính

Bài 4. Trong không gian , cho hai vectơ   và Viết phương trình mặt cầu đường kính .

DẠNG 3:

Bài 1. 

a)

b) .

.

Bài 2.

a) .

Phương trình tâm đi qua gốc tọa độ là: .

b) .

Phương trình mặt cầu tâm đi qua điểm là: 

.

Bài 3.

.

Gọi là trung điểm

.

Phương trình mặt cầu cần tìm là .

Bài 4.

.

Gọi là trung điểm .

.

Phương trình mặt cầu cần tìm là .