Giáo án dạy thêm Toán 12 cánh diều Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

HOẠT ĐỘNG CỦA GV - HS

DỰ KIẾN SẢN PHẨM

Bước 1: GV chuyển giao nhiệm vụ học tập

- GV đặt câu hỏi và cùng HS nhắc lại kiến thức phần lí thuyết cần ghi nhớ trong bài “Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số” trước khi thực hiện các phiếu bài tập.

1. Nêu sơ đồ các bước khảo sát hàm số.

2. Nêu toạ độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba .

3. Nêu toạ độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số .

4. Nêu toạ độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số .

Bước 2: Học sinh thực hiện nhiệm vụ học tập

- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

Bước 3: Báo cáo kết quả hoạt động, thảo luận

Đại diện một số HS đứng tại chỗ trình bày kết quả.

Bước 4: Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập  

GV đưa ra nhận xét, đánh giá, chuẩn kiến thức.

1. Sơ đồ khảo sát hàm số

Sơ đồ khảo sát hàm số 

1. Tìm tập xác định của hàm số.

2. Xét sự biến thiên của hàm số:

- Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có).

- Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm: Tính đạo hàm của hàm số, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trị của hàm số (nếu có), điền các kết quả vào bảng.

3. Vẽ đồ thị hàm số 

- Vẽ các đường tiệm cận (nếu có).

- Xác định các điểm đặc biệt của đồ thị: cực trị, giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (trong trường hợp đơn giản), ...

- Nhận xét về đặc điểm của đồ thị: chỉ ra tâm đối xứng, trục đối xứng (nếu có).

Chú ý: Đồ thị hàm số giao với trục hoành tại những điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình , giao với trục tung tại điểm có tung độ là nếu 0 thuộc tập xác định của hàm số đó.

Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số .

Giải

Xét hàm số .

1. Tập xác định của hàm số là.

2. Sự biến thiên

- Giới hạn tại vô cực:

.

- Ta có: ;

hoặc .

- Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên khoảng ; nghịch biến trên các khoảng và .

Hàm số đạt cực đại tại ; hàm số đạt cực tiểu tại .

3) Đồ thị

Giao điểm của đồ thị với trục tung là

Đồ thị đi qua các điểm , .

2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc ba.

Sử dụng sơ đồ khảo sát hàm số, ta có thể khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc ba.

Nhận xét: Trong trường hợp tổng quát, đồ thị của hàm số bậc ba có tâm đối xứng là điểm . Hoành độ của tâm đối xứng đó là nghiệm của phương trình .

3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm phân thức hữu tỉ.

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Sử dụng sơ đồ khảo sát hàm số, ta có thể khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

.

Nhận xét: Trong trường hợp tổng quát, đồ thị của hàm số

nhận giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 

Sử dụng sơ đồ khảo sát hàm số, ta có thể khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

( không là nghiệm của đa thức ). 

Nhận xét: Trong trường hợp tổng quát, đồ thị hàm số ( không là nghiệm của đa thức ). 

nhận giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

4. Ứng dụng đạo hàm vào khảo sát hàm số để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn.

Đạo hàm là một khái niệm toán học xuất phát từ nhiều vấn đề trong khoa học, kĩ thuật và công nghệ. Vì thế, đạo hàm và khảo sát hàm số là một công cụ quan trọng để giải quyết một số bài toán trong thực tiễn.

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc ba

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc ba 

Phương pháp giải:

1. Tìm tập xác định của hàm số.

2. Xét sự biến thiên của hàm số:

- Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có).

- Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm: Tính đạo hàm của hàm số, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trị của hàm số (nếu có), điền các kết quả vào bảng.

3. Vẽ đồ thị hàm số 

- Vẽ các đường tiệm cận (nếu có).

- Xác định các điểm đặc biệt của đồ thị: cực trị, giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (trong trường hợp đơn giản), ...

- Nhận xét về đặc điểm của đồ thị: chỉ ra tâm đối xứng, trục đối xứng (nếu có).

2. Biện luận số nghiệm của phương trình

a) Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị hàm số hoặc bảng biến thiên.

Phương pháp giải:

Biện luận số nghiệm của phương trình là bài toán tìm số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng

- Có hai cách biện luận số nghiệm của phương trình:

+ Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị, ta dựa vào sự tịnh tiến của đường thẳng theo hướng lên hoặc xuống theo trục tung.

+ Biện luận số nghiệm của phương trình bằng bảng biến thiên

b) Sự tương giao của hai đồ thị.

Phương pháp giải:

Cho hai hàm số

- Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:

- Giải phương trình  (*) để tìm từ đó suy ra và toạ độ giao điểm.

- Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thị.

Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

Bài 2. Cho hàm số , với là tham số thực

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi .

b) Cho điểm . Tìm để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị và sao cho tam giác cân tại .

Bài 3. Cho hàm số , với là tham số thực.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi .

b) Tìm để đường thẳng cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt.

Bài 4. Cho hàm số , với là tham số thực.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi .

b) Tìm để hàm số (1) có hai điểm cực trị sao cho .

Bài 5. Cho hàm số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số để đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại 3 điểm phân biệt.

DẠNG 1:

Bài 1. 

a) Xét hàm số

- Tập xác định của hàm số là .

- Sự biến thiên:

+ Giới hạn tại vô cực: ;  ;

+ Ta có:

+ Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng .

Hàm số không có cực trị.

- Đồ thị:

+ Giao điểm của đồ thị với trục tung là

+ Giao điểm của đồ thị với trục hoành là

+ Đồ thị đi qua các điểm

Vậy đồ thị của hàm số được cho bởi hình sau:

b)Xét hàm số

- Tập xác định của hàm số là .

- Sự biến thiên:

+ Giới hạn tại vô cực: ;  ;

+ Ta có:

hoặc .

+ Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng và ; nghịch biến trên khoảng  

Hàm số đạt cực đại tại ; đạt cực tiểu tại

- Đồ thị:

+ Giao điểm của đồ thị với trục tung là

+ Giao điểm của đồ thị với trục hoành là

+ Đồ thị đi qua các điểm

+ Đồ thị có tâm đối xứng là điểm

Vậy đồ thị của hàm số được cho bởi hình sau:

c) Xét hàm số

- Tập xác định của hàm số là .

- Sự biến thiên:

+ Giới hạn tại vô cực: ;  ;

+ Ta có:

hoặc

+ Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng ; nghịch biến trên các khoảng và .

Hàm số đạt cực đại tại ; đạt cực tiểu tại

- Đồ thị:

+ Giao điểm của đồ thị với trục tung là

+ Đồ thị có tâm đối xứng là điểm

Vậy đồ thị của hàm số được cho bởi hình sau:

d)Xét hàm số

- Tập xác định của hàm số là .

- Sự biến thiên:

+ Giới hạn tại vô cực: ;  ;

+ Ta có:

hoặc

+ Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng và ; nghịch biến trên khoảng

Hàm số đạt cực đại tại ; đạt cực tiểu tại

- Đồ thị:

+ Giao điểm của đồ thị với trục tung là

+ Giao điểm của đồ thị với trục hoành là

+ Đồ thị đi qua các điểm

+ Đồ thị có tâm đối xứng là điểm

Vậy đồ thị của hàm số được cho bởi hình sau:

Bài 2.

a) Xét hàm số

Khi , ta có:

- Tập xác định của hàm số là .

- Sự biến thiên:

+ Giới hạn tại vô cực: ; ;

+ Ta có:

hoặc

+ Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng và ; nghịch biến trên khoảng .

Hàm số đạt cực đại tại ; đạt cực tiểu tại

- Đồ thị:

+ Giao điểm của đồ thị với trục tung là

+ Đồ thị đi qua các điểm

+ Đồ thị có tâm đối xứng là điểm

Vậy đồ thị của hàm số được cho bởi hình sau:

b) Ta có:

Đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị khi vào chỉ khi phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Toạ độ các điểm cực trị là:

Ta có:

Gọi là trung điểm của  , suy ra

Vì tam giác cân tại nên

hoặc

Suy ra thoả mãn điều kiện.

Vậy với , đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị và sao cho tam giác   cân tại .

Bài 3.

Xét hàm số:

a) Khi , ta có

- Tập xác định của hàm số là .

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: 

hoặc

+ Giới hạn tại vô cực:

+ Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng và ; nghịch biến trên khoảng .

Hàm số đạt cực đại tại ; đạt cực tiểu tại

- Đồ thị:

+ Giao điểm của đồ thị với trục tung là

+ Giao điểm của đồ thị với trục hoành là

+ Đồ thị đi qua các điểm

+ Đồ thị có tâm đối xứng là điểm

Vậy đồ thị của hàm số được cho bởi hình sau:

b) Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số (1) với đường thẳng là:

Giải phương trình (2), ta có:

Đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0.

hoặc

Vậy với hoặc thì đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng tại 3 điểm phân biệt.

Bài 4. 

Xét hàm số

a) Khi , hàm số trở thành

- Tập xác định của hàm số là .

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: 

hoặc

+ Giới hạn tại vô cực:

+ Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng và ; nghịch biến trên khoảng .

Hàm số đạt cực đại tại ; đạt cực tiểu tại

- Đồ thị:

+ Giao điểm của đồ thị với trục tung là

+ Đồ thị đi qua các điểm

+ Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm

Vậy đồ thị của hàm số được cho bởi hình sau:

b) Ta có:

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Ta có: và (theo định lí Vi – ét)

Do đó,

hoặc

Ta thấy thỏa mãn yêu cầu (*).

Vậy với , đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị thoả mãn điều kiện bài toán.

Bài 5. 

a) Xét hàm số

- Tập xác định của hàm số là .

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: 

hoặc

+ Giới hạn tại vô cực:

+ Bảng biến thiên:

- Đồ thị:

+ Giao điểm của đồ thị với trục tung là

+ Đồ thị đi qua các điểm

+ Đồ thị hàm số đi qua các điểm

+ Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm

Vậy đồ thị của hàm số được cho bởi hình sau:

b)

Ta có:

hoặc

Bảng biến thiên:

Do đó, đồ thị cắt đường thẳng tại ba điểm phân biệt khi

Vậy  , đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng tại ba điểm phân biệt.

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2

DẠNG 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm phân thức

Phương pháp giải:

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm phân thức 

Phương pháp giải:

1. Tìm tập xác định của hàm số.

2. Xét sự biến thiên của hàm số:

- Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có).

- Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm: Tính đạo hàm của hàm số, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trị của hàm số (nếu có), điền các kết quả vào bảng.

3. Vẽ đồ thị hàm số 

- Vẽ các đường tiệm cận (nếu có).

- Xác định các điểm đặc biệt của đồ thị: cực trị, giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (trong trường hợp đơn giản), ...

- Nhận xét về đặc điểm của đồ thị: chỉ ra tâm đối xứng, trục đối xứng (nếu có).

2. Sự tương giao của hai đồ thị

Phương pháp giải:

Cho hai hàm số

- Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:

- Giải phương trình  (*) để tìm từ đó suy ra và toạ độ giao điểm.

- Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thị.

Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

Bài 2. Cho hàm số  

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.

b) Đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt và . Tìm hoành độ trung điểm của đoạn thẳng .

Bài 3. Cho hàm số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.

b) Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng .

Bài 4. Cho hàm số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).

b) Tìm toạ độ điểm thuộc sao cho khoảng cách từ đến đường thẳng bằng .