Giáo án dạy thêm Toán 12 cánh diều Bài 1: Phương trình mặt phẳng

HOẠT ĐỘNG CỦA GV - HS

DỰ KIẾN SẢN PHẨM

Bước 1: GV chuyển giao nhiệm vụ học tập

- GV đặt câu hỏi và cùng HS nhắc lại kiến thức phần lí thuyết cần ghi nhớ trong bài “Phương trình mặt phẳng” trước khi thực hiện các phiếu bài tập.

1. Nhắc lại khái niệm về vectơ pháp tuyến và cặp vectơ chỉ phương.

2. Trình bày phương trình tổng quát của mặt phẳng.

3. Trình bày cách lập phương trình tổng quát của mặt phẳng

4. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc.

5. Điều kiện để hai mặt phẳng song song.

6. Nhắc lại công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Bước 2: Học sinh thực hiện nhiệm vụ học tập

- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

Bước 3: Báo cáo kết quả hoạt động, thảo luận

Đại diện một số HS đứng tại chỗ trình bày kết quả.

Bước 4: Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập  

GV đưa ra nhận xét, đánh giá, chuẩn kiến thức.

I. Vectơ pháp tuyến. Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

1. Vectơ pháp tuyến 

Khái niệm

Cho mặt phẳng . Nếu vectơ khác và có giá vuông góc với mặt phẳng thì được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .

Vectơ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .

Nhận xét: Nếu là vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng thì cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.

2. Cặp vectơ chỉ phương

Cho mặt phẳng . Hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

Ví dụ 1: Cho hình hộp chữ nhật .

1. Hãy kể tên ba vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .

2. Hãy kể tên ba cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng . 

Giải

a) Các vectơ pháp tuyến của là: .

b) Các cặp vectơ chỉ phương của là: và , và , và

3. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng khi biết cặp vectơ chỉ phương

Nếu hai vectơ là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng thì là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .

Ví dụ 2: Xác định vectơ pháp tuyến của mẳt phẳng song song với giá của hai vectơ .

Giải

b) Gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng . Ta có: và

Nên chọn .

II. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Phương trình ( không đồng thời bằng 0) là phương trình tổng quát của mặt phẳng. Hệ số gọi là hệ số tự do của phương trình tổng quát.

Nhận xét

Ta có thể chứng minh được rằng nếu mặt phẳng có phương trình tổng quát là:

Trong đó không đồng thời bằng 0, thì vectơ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .

Ví dụ 3: Tìm một điểm đi qua và một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng biết:

Giải

Ta có: .

đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến là . 

III. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng biết một số điều kiện

1. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến

Mặt phẳng đi qua điểm và nhận làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là:

với .

Chú ý: Mặt phẳng đi qua điểm và nhận làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:

Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến .

Giải

Phương trình mặt phẳng là:

Hay . 

2. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương

Để lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm có cặp vectơ chỉ phương là , ta có thể làm như sau:

Bước 1: Tìm .

Bước 2: Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm nhận làm vectơ pháp tuyến.

Ví dụ 5: Viết phương trình mặt phẳng biết rằng đi qua điểm và có cặp vectơ chỉ phương .

Giải

đi qua điểm và có một vectơ pháp tuyến là nên có phương trình tổng quát:

Hay .

3. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

Để lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng, ta có thể làm như sau:

Bước 1. Tìm cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng là:

Bước 2. Tìm .

Bước 3. Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm nhận làm vectơ pháp tuyến.

Ví dụ 6: Viết phương trình mặt phẳng biết rằng đi qua ba điểm , .

Giải

có cặp vectơ chỉ phương , nên có một vectơ pháp tuyến .

Mặt khác đi qua nên có phương trình:

Hay .

IV. Điều kiện song song, vuông góc của hai mặt phẳng

1. Điều kiện song song của hai mặt phẳng

Cho mặt phẳng có phương trình tổng quát là và mặt phẳng có phương trình tổng quát là . Gọi lần lượt là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng .

Khi đó: khi và chỉ khi tồn tại số thực sao cho

Ví dụ 7: Cho hai mặt phẳng: . Chứng minh hai mặt phẳng này song song với nhau.

Giải

Ta có: lần lượt có vectơ pháp tuyến là .

Khi đó: nên hai mặt phẳng song song với nhau.

2. Điều kiện vuông góc của hai mặt phẳng

Cho mặt phẳng có phương trình tổng quát là và mặt phẳng có phương trình tổng quát là . Khi đó:

Ví dụ 8: Cho hai mặt phẳng: . Chứng minh hai mặt phẳng này song song với nhau.

Giải

Ta có: lần lượt có vectơ pháp tuyến là .

Vì nên vuông góc với nhau.

V. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng :

Được tính theo công thức: 

Ví dụ 9: Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng có phương trình .

Giải

Ta có:

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Phương pháp giải: 

Một mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyến và chúng cùng phương với nhau.

+ Chẳng hạn là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng   thì cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .

+ Nếu mặt phẳng có cặp vectơ chỉ phương là thì có vectơ pháp tuyến là .

Bài 1. Xác định vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng sau:

a) Mặt phẳng có phương trình là .

b) Mặt phẳng song song với giá của hai vectơ .

c) Mặt phẳng đi qua ba điểm và .

Bài 2. Tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng biết rằng:

a) vuông góc với đường thẳng với .

b) song song với mặt phẳng .

DẠNG 1:

Bài 1.

a) có vectơ pháp tuyến

b) Gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng . Ta có: và

Nên chọn .

c) Ta có:

Vậy mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là .

Bài 2.

a) Ta có:

Vậy có một vectơ pháp tuyến là .

b) song song với mặt phẳng nên vuông góc với , suy ra có vectơ pháp tuyến là .

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2

DẠNG 2: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng

Phương pháp giải: 

Dạng 1: Mặt phẳng đi qua một điểm và biết một vectơ chỉ phương

Trong không gian , nếu mặt phẳng () đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến thì có phương trình là:

Dạng 2: Mặt phẳng đi qua một điểm và biết một cặp vectơ chỉ phương

Trong không gian , bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm và biết cặp vectơ chỉ phương có thể thực hiện theo các bước sau:

• Tìm vectơ pháp tuyến .
• Lập phương trì̀nh tổng quát của mặt phẳng đi qua và biết vectơ pháp tuyến 

Dạng 3: Mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

Trong không gian , bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng có thể thực hiện theo các bước sau:

• Tìm cặp vectơ chỉ phương .
• Tìm vectơ pháp tuyến .
• Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua và có vectơ pháp tuyến .

Trường hợp đặc biệt: Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm với đều khác 0 gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn có phương trình là:

Bài 1. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng trong trường hợp sau:

a) đi qua điểm có vectơ pháp tuyến là .

b) đi qua điểm và vuông góc với đường thẳng biết rằng .

Bài 2. Trong không gian , viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau:

a) là mặt phẳng trung trực của đoạn với .

b) qua điểm và song song với mặt phẳng .

Bài 3. Trong không gian , viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau:

a) qua điểm và song song với hai đường thẳng biết rằng .

b) qua điểm , đồng thời vuông góc với cả hai mặt phẳng và .

Bài 4. Viết phương trình mặt phẳng biết rằng:

a) qua ba điểm .

b) qua điểm và chứa trục .

c) qua điểm và vuông góc với mặt phẳng .

Bài 5. Viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau:

a) qua ba điểm và cắt các trục lần lượt tại sao cho là trực tâm tam giác .

b) đi qua hai điểm đồng thời cắt các tia lần lượt tại các điểm không trùng gốc tọa độ thỏa mãn .

c) đi qua điểm và cắt ba tia lần lượt tại ba điểm sao cho thể tích tứ diện nhỏ nhất.