Giáo án dạy thêm Toán 12 cánh diều Bài 2: Tọa độ của vectơ

HOẠT ĐỘNG CỦA GV - HS

DỰ KIẾN SẢN PHẨM

Bước 1: GV chuyển giao nhiệm vụ học tập

- GV đặt câu hỏi và cùng HS nhắc lại kiến thức phần lý thuyết cần ghi nhớ trong bài “Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian” trước khi thực hiện các phiếu bài tập.

1. Nhắc lại khái niệm hệ trục tọa độ trong không gian; tọa độ của một điểm trong không gian.

2. Nhắc lại khái niệm tọa độ của một vectơ; định lí 1; định lí 2.

Bước 2: Học sinh thực hiện nhiệm vụ học tập

- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

Bước 3: Báo cáo kết quả hoạt động, thảo luận

Đại diện một số HS đứng tại chỗ trình bày kết quả.

Bước 4: Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập 

GV đưa ra nhận xét, đánh giá, chuẩn kiến thức.

I. Tọa độ của một điểm

1) Hệ trục tọa độ trong không gian

Khái niệm

Hệ gồm ba trục đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian, hay đơn giản gọi là hệ trục tọa độ

Chú ý: 

- Ta gọi lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục . 

- Trong hệ trục tọa độ , ta gọi: điểm là gốc tọa độ; là trục hoành, là trục tung, là trục cao; các mặt phẳng là các mặt phẳng tọa độ. 

- Không gian với hệ trục tọa độ còn được gọi là không gian .

Ví dụ: Một căn phòng với hệ trục tọa độ được chọn như hình dưới đây. 

a) Bức tường có cửa sổ nằm trong mặt phẳng tọa độ nào?

b) Sàn nhà nằm trong mặt phẳng tọa độ nào?

Giải

a) Bức tường có cửa sổ nằm trong mặt phẳng .

b) Sàn nhà nằm trong mặt phẳng .

Nhận xét: Các mặt phẳng tọa độ , , đôi một vuông góc với nhau.

2) Tọa độ của một điểm

Khái niệm

Trong không gian với hệ trục tọa độ  , cho điểm .

- Xác định hình chiếu của điểm trên mặt phẳng . Trong mặt phẳng tọa độ , tìm hoành độ , tung độ của điểm .

- Xác định hình chiếu của điểm trên trục cao , điểm ứng với số trên trục . Số là cao độ của điểm .

Bộ số là tọa độ của điểm trong không gian với hệ tọa độ , kí hiệu là .

Chú ý:

- Tọa độ của một điểm trong không gian với hệ tọa độ luôn tồn tại và duy nhất.

- Người ta còn có thể xác định tọa độ điểm theo cách sau (hình sau):

+ Xác định hình chiếu của điểm trên trục hoành , điểm ứng với số trên trục Số là hoành độ của điểm .

 + Xác định hình chiếu của điểm trên trục tung , điểm ứng với số trên trục Số là tung độ của điểm .

+ Xác định hình chiếu của điểm trên trục cao , điểm ứng với số trên trục Số là cao độ của điểm .

Khi đó, bộ số   là tọa độ của điểm trong không gian với hệ tọa độ

Ví dụ: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho điểm . Gọi lần lượt là hình chiếu của trên các mặt phẳng tọa độ . Tìm tọa độ của các điểm .

Giải

Gọi , , . Ta có:

+ (Vì ). Nên

+ (Vì ). Nên 

+ (Vì ). Nên

II. Tọa độ của một vectơ.

Khái niệm

Tọa độ của điểm   được gọi là tọa độ của vectơ .

Chú ý 1: Trong không gian đối với hệ trục tọa độ , ta có:

- ;

-  Vectơ đơn vị trên trục có tọa độ là ;

Vectơ đơn vị trên trục có tọa độ là

Vectơ đơn vị trên trục có tọa độ là

Ví dụ: Trong không gian với hệ trục tọa độ ,

a) cho . Tìm tọa độ của vectơ .

b) cho . Tìm tọa độ của điểm .

Giải

a) Ta có: . Do đó, .

b) Ta có: . Dó đó,

Chú ý 2:

Trong không gian với hệ tọa độ tọa độ của một vectơ là tọa độ của điểm , trong đó là điểm sao cho .

Định lí 1:

Trong không gian với hệ tọa độ , nếu thì 

Ngược lại, nếu thì 

Chú ý:

Với và , ta có:

Như vậy, mỗi vectơ hoàn toàn được xác định khi biết tọa độ của nó.

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ , cho vectơ . Hãy biểu diễn vectơ theo các vectơ .

Giải

Vì nên 

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ , cho vectơ . Hãy tìm tọa độ điểm .

Giải

Vì nên .

Khi đó, .

Định lí 2:

Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm và . Khi đó, ta có  .

Ví dụ: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hình bình hành , trong đó

a) Tìm tọa độ vectơ

b) Tìm tọa độ điểm .

Giải

a) Ta có:

b) Gọi . 

Ta có .

Do là hình bình hành nên

. 

Vậy

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Tìm tọa độ của vectơ

Phương pháp giải:

- Sử dụng định lí 2: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm và . Khi đó, ta có  .

- Nếu thì

Bài 1. Trong không gian cho ba điểm . Tìm tọa độ của vectơ .

Bài 2. Trong không gian cho ba điểm . Tìm tọa độ của vectơ .

Bài 3. Tìm tọa độ vectơ biết rằng:

a) 

b)

c)

Bài 4: Cho hình hộp chữ nhật có cạnh
. Chọn hệ trục tọa độ có gốc tọa độ ; các điểm lần lượt nằm trên các tia . Tìm tọa độ của các vectơ  .

Bài 5: Cho hình chóp đều có các cạnh bằng 1. Gọi là trung điểm của . Chọn hệ trục tọa độ có gốc tọa độ (như hình dưới). Tìm tọa độ của các vectơ  .