Giáo án dạy thêm Toán 12 cánh diều Bài 4: Ứng dụng hình học của tích phân

HOẠT ĐỘNG CỦA GV - HS

DỰ KIẾN SẢN PHẨM

Bước 1: GV chuyển giao nhiệm vụ học tập

- GV đặt câu hỏi và cùng HS nhắc lại kiến thức phần lí thuyết cần ghi nhớ trong bài “Ứng dụng hình học của tích phân” trước khi thực hiện các phiếu bài tập.

1. Nhắc lại công thức tính diện tích hình phẳng 

2. Nhắc lại công thức tính thể tích vật thể.

Bước 2: Học sinh thực hiện nhiệm vụ học tập

- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

Bước 3: Báo cáo kết quả hoạt động, thảo luận

Đại diện một số HS đứng tại chỗ trình bày kết quả.

Bước 4: Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập  

GV đưa ra nhận xét, đánh giá, chuẩn kiến thức.

I. Tính diện tích hình phẳng

1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng .

Cho hàm số liên tục trên đoạn . Khi đó, diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng là:

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành, trục tung và đường thẳng .

Giải

Phương trình hoành độ giao điểm:

Bảng xét dấu:

	0                        1                           2
	0

Suy ra:

2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số và hai đường thẳng .

Cho các hàm số liên tục trên đoạn . Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số và hai đường thẳng là:

Chú ý:

Nếu hiệu không đổi dấu trên đoạn thì

Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số , đường thẳng .

Giải

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

Vì

Nên

II. Tính thể tích của hình khối

1. Thể tích của vật thể

Định lí

Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục tại và (). Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với tại cắt vật thể đó theo hình phẳng có diện tích là . Giả sử hàm số liên tục trên . Khi đó, thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng trên được tính bởi công thức

Chú ý: Nếu không đổi với mỗi thì .

Ví dụ 3: Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng và , biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục tại điểm có hoành độ thì được thiết diện là một hình chữ nhật có hai cạnh là và .

Giải

Ta có diện tích thiết diện:

Khi đó: 

2. Thể tích của khối tròn xoay

Cho hàm số liên tục, không âm trên đoạn . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng khi quay quanh trục tạo thành một hình khối gọi là khối tròn xoay. Khi cắt khối tròn xoay đó bởi một mặt phẳng vuông góc với trục , ta được một hình tròn có bán kính là .

Ta có định lí sau:

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng quay quanh trục tạo thành một khối tròn xoay có thể tích bằng

Ví dụ 4: Tính thể tích vật thể tròn xoay quay quanh trục hoành được giới hạn bởi các đường sau: .

Giải

Thể tích khối tròn xoay là:

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi , trục hoành và

Phương pháp giải: 

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số liên tục và hai đường thẳng , được tính bằng công thức

Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

a) Đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng .

b) Đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng .

c) Đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng .

d) Đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng .

Bài 2. Xác định và tính diện tích phần tô màu trong các hình sau:

Bài 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol , trục hoành và hai đường thẳng .

Bài 4. Gọi là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số: , trục tung và trục hoành. Xác định để đường thẳng đi qua điểm có hệ số góc chia thành hai phần có diện tích bằng nhau. 

Bài 5. Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường , trục hoành và . Đường thẳng chia thành hai phần có diện tích là và như hình vẽ bên. Tìm để .

Bài 6. Trong xác suất thống kê thì một biến ngẫu nhiên X được gọi là có hàm mật độ nếu xác suất để X nhận giá trị trong là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , đường thẳng và . Đặc biệt, khi trong đó là số thực cho trước thì X được gọi là biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với tham số . Chẳng hạn, tuổi thọ của một bóng đèn (đơn vị năm) là một biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối mũ với hệ số . Hãy tính xác suất để một bóng đèn có tuổi thọ lớn hơn 5 năm và nhỏ hơn 10 năm.

DẠNG 1:

Bài 1. 

a) Ta có:

Bảng xét dấu:

Diện tích hình phẳng là:

b) Xét phương trình:

Diện tích hình phẳng là:

c) Ta có:

Diện tích hình phẳng là:

d) Ta có:

Diện tích hình phẳng là:

Bài 2. 

Diện tích phần tô màu là:

Đường parabol có phương trình là

Đồ thị hàm số đi qua điểm và nên ta có hệ phương trình:

Vậy parabol có phương trình là

Diện tích phần tô màu là:

Bài 3. 

Ta có: đi qua và nên ta có hệ phương trình:

Vậy parabol có phương trình là: .

Diện tích phần tô màu là:

Bài 4. 

Phương trình đường thẳng đi qua có hệ số góc là:

+ Cho , suy ra cắt tại điểm .

+ Xét phương trình hoành độ giao điểm:

Để chia thành 2 phần thì .

Diện tích hình phẳng là:

Vì chia thành 2 phần có diện tích bằng nhau nên

Phần 1: Tam giác vuông có diện tích

Phần 2: Hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng , đồ thị hàm số và trục hoành.

Ta có:

Bài 5. 

Ta có: và

Vì

Bài 6.

Xác suất để một bóng đèn có tuổi thọ lớn hơn 5 năm và nhỏ hơn 10 năm là:

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2

DẠNG 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi và .

Phương pháp giải: 

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số liên tục trên đoạn và hai đường thẳng , được tính bằng công thức

Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

a) Đồ thị của hai hàm số và hai đường thẳng .

b) Đồ thị của hai hàm số và hai đường thẳng .

c) Đồ thị của hai hàm số và các đường thẳng .

Bài 2. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

a) .

b) .

c) .

Bài 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường được minh họa bởi hình vẽ sau đây:

Bài 4. Tìm để diện tích của hình phẳng giới hạn bởi , đường thẳng và bằng ?

Bài 5. Một cái cổng có kích thước như hình sau. Vòm cổng có hình dạng một parabol có đỉnh và đi qua điểm Tính diện tích hai cánh cửa cổng.