Giáo án dạy thêm Toán 12 cánh diều Bài 2: Phương trình đường thẳng

HOẠT ĐỘNG CỦA GV - HS

DỰ KIẾN SẢN PHẨM

Bước 1: GV chuyển giao nhiệm vụ học tập

- GV đặt câu hỏi và cùng HS nhắc lại kiến thức phần lí thuyết cần ghi nhớ trong bài “Phương trình mặt phẳng” trước khi thực hiện các phiếu bài tập.

1. Nhắc lại khái niệm vectơ chỉ phương, dạng phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng. Trình bày cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm.

2. Trình bày cách nhận biết vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.

3. Trình bày cách tính góc giữa hai đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng, hai mặt phẳng.

Bước 2: Học sinh thực hiện nhiệm vụ học tập

- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

Bước 3: Báo cáo kết quả hoạt động, thảo luận

Đại diện một số HS đứng tại chỗ trình bày kết quả.

Bước 4: Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập  

GV đưa ra nhận xét, đánh giá, chuẩn kiến thức.

I. Phương trình đường thẳng

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Khái niệm:

Cho đường thẳng và vectơ khác . Vectơ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng nếu giá của song song hoặc trùng với .

Nhận xét: Nếu là vectơ chỉ phương của một đường thẳng thì () cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ .

a) Hãy kể tên các vectơ chỉ phương của đường thẳng .

b) Hãy kể tên các vectơ chỉ phương của đường thẳng . 

Giải

a) Các vectơ chỉ phương của đường thẳng là: .

b) Các vectơ chỉ phương của đường thẳng là: .

2. Phương trình tham số của đường thẳng

Hệ phương trình , trong đó không đồng thời bằng 0, là tham số, được gọi là phương trình tham số của đường thẳng đi qua và có vectơ chỉ phương .

3. Phương trình chính tắc của đường thẳng

Nếu thì hệ phương trình được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua và có vectơ chỉ phương .

Ví dụ 2: Trong không gian , viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương là .

Giải

Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương là:

Và phương trình chính tắc là:

4. Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước

Đường thẳng đi qua hai điểm , có:

• Phương trình tham số là: 

là tham số).

• Phương trình chính tắc là: (với ).

Ví dụ 3: Trong không gian , viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm và .

Giải

Ta có

Đường thẳng qua nhận làm vectơ chỉ phương có phương trình là:

II. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng phân biệt lần lượt đi qua các điểm và tương ứng có là hai vectơ chỉ phương. Khi đó, ta có:

cắt

và chéo nhau .

Ví dụ 4: Trong không gian , cho và . Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:

Giải

Ta có: có vectơ chỉ phương lần lượt là .

Lấy .

Ta có:

Khi đó:

Vậy và chéo nhau.

III. Góc

1. Góc giữa hai đường thẳng

Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng và có vectơ chỉ phương lần lượt là , . Khi đó, ta có:

Nhận xét: .

Ví dụ 5: Trong không gian , xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau: và . Tính góc giữa hai đường thẳng đã cho.

Giải

Ta có các vectơ chỉ phương của và lần lượt là và .

Ta có:

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng có vectơ chỉ phương và mặt phẳng có vectơ pháp tuyến . Gọi là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng . Khi đó,

Ví dụ 6: Trong không gian , cho đường thẳng và mặt phẳng . Tính góc giữa và .

Giải

Đường thẳng có một VTCP là .

Mặt phẳng có một VTPT là .

Ta có: 

3. Góc giữa hai mặt phẳng

Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến lần lượt là , .

Khi đó, ta có:

Ví dụ 7: Trong không gian , tính góc giữa hai mặt phẳng và . Tính góc giữa và .

Giải

Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến lần lượt là: .

Ta có:

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng

Phương pháp giải: 

+ Trong không gian , vectơ là vectơ chỉ phương của đường thẳng   thì vectơ cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng .

+ Phương trình tham số có vectơ chỉ phương (hệ số trước ).

+ Phương trình chính tắc có vectơ chỉ phương (hệ số ở mẫu).

+ Gọi là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng . Nếu có 2 vectơ không cùng phương và thì chọn 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng là hoặc .

Bài 1. Trong không gian , tìm một vectơ chỉ phương và một điểm của đường thẳng trong các trường hợp sau:

a)                                     b)             

c)                                  d)  

Bài 2. Trong không gian với hệ tọa tộ , tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng biết rằng:

a) qua hai điểm .

b) song song với trục .

c) vuông góc với mặt phẳng có phương trình .

Bài 3. Trong không gian , cho đường thẳng và các mặt phẳng: . Tìm một vectơ chỉ phương của các đường thẳng sau:

a) Đường thẳng qua và vuông góc với .

b) Đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng .

c) Đường thẳng vuông góc với và song song với mặt phẳng .

DẠNG 1:

Bài 1.

a) Đường thẳng đi qua và có một vectơ chỉ phương là .

b) Đường thẳng đi qua và có một vectơ chỉ phương là .

c) Đường thẳng đi qua và có một vectơ chỉ phương là .

d) Đường thẳng đi qua và có một vectơ chỉ phương là .

Bài 2.

a) qua hai điểm nên có một vectơ chỉ phương là .

b) song song với nên có một vectơ chỉ phương là .

c) vuông góc với nên có một vectơ chỉ phương .

Bài 3.

a) Mặt phẳng có 1 vectơ pháp tuyến là . 

Đường thẳng có 1 vectơ chỉ phương là .

Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là

b) Mặt phẳng có 1 vectơ pháp tuyến là .

Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là .

c) Mặt phẳng có 1 vectơ pháp tuyến là .

Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là .

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2

DẠNG 2: Lập phương trình đường thẳng

Phương pháp giải: 

Loại 1: đi qua điểm và có vectơ chỉ phương

Phương trình hoặc nếu .

Loại 2: đi qua hai điểm :

+ Chọn hoặc là điểm mà đi qua.

+ Nhận làm vectơ chỉ phương.

Loại 3: Đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng .

+ Tìm tọa độ một điểm bằng cách giải hệ phương trình .

+ Vectơ chỉ phương của là

Loại 4: Đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng

+ Gọi

+ Giải hệ phương trình: , từ đó tìm tọa độ .

+ Lập phương trình đi qua và có vectơ chỉ phương là .

Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ , viết phương trình tham số và phương trình chính tắc (nếu có) của đường thẳng biết rằng:

a) qua điểm và có vectơ chỉ phương .

b) qua hai điểm .

c) trùng với trục .

Bài 2. Trong không gian , viết phương trình tham số và phương trình chính tắc (nếu có) của đường thẳng biết rằng:

a) qua điểm và song song với biết .

b) qua điểm và song song với đường thẳng có phương trình .

c) qua điểm và vuông góc với mặt phẳng .

Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ , viết phương trình đường thẳng đi qua cắt và vuông góc với đường thẳng .

Bài 4. Trong không gian với hệ tọa độ , viết phương trình đường thẳng biết:

a) qua gốc tọa độ và vuông góc với hai đường thẳng có phương trình lần lượt là .

b) qua điểm , vuông góc với và song song với mặt phẳng .

c) qua trọng tâm của tam giác và vuông góc với mặt phẳng biết rằng .

Bài 5. Trong không gian , viết phương trình tham số của đường thẳng biết rằng:

a) qua và song song với hai mặt phẳng lần lượt có phương trình .

b) là giao tuyến hai mặt phẳng lần lượt có phương trình .

Bài 6. Trong không gian , cho đường thẳng và . Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng .

DẠNG 2:

Bài 1. 

a) Đường thẳng đi qua và có 1 vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: .

có phương trình chính tắc: .

b) Đường thẳng đi qua và có 1 vectơ chỉ phương , có phương trình tham số là .

có phương trình chính tắc: .

c) Đường thẳng trùng với nên qua gốc tọa độ và có vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số: ; không có phương trình chính tắc.

Bài 2. 

a) Đường thẳng đi qua và có vectơ chỉ phương , có phương trình tham số là .

có phương trình chính tắc: .

b) song song với nên có vectơ chỉ phương , mặt khác qua nên có phương trình tham số: .

có phương trình chính tắc: .

c) vuông góc với mặt phẳng nên có vectơ chỉ phương , mặt khác qua nên có phương trình tham số: ; không có phương trình chính tắc. 

Bài 3. 

Đường thẳng có 1 vectơ chỉ phương là .

Gọi . Ta có:

Có

Suy ra .

Đường thẳng qua và có vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: .

Bài 4. 

a) có hai vectơ chỉ phương lần lượt là .

vuông góc với hai đường thẳng nên có vectơ chỉ phương .

đi qua nên có phương trình tham số: .

b) có vectơ chỉ phương có vectơ pháp tuyến vuông góc và song song nên có vectơ chỉ phương .

Mặt khác qua nên có phương trình tham số: .

c) Ta có: vuông góc với nên có vectơ chỉ phương .

Mặt khác qua trọng tâm của tam giác nên phương trình tham số là: .

Bài 5.

a) song song với hai mặt phẳng mà có vectơ pháp tuyến lần lượt là nên có vectơ chỉ phương .

Mặt khác qua nên có phương trình tham số .

b) Xét hệ phương trình:

Chọn suy ra . Chọn nên .

là giao tuyến của hai mặt phẳng mà có vectơ pháp tuyến lần lượt là nên có vectơ chỉ phương .

Phương trình tham số là: .

Bài 6.

Gọi là đường vuông góc chung của hai đường thẳng .

Đường thẳng có vectơ chỉ phương lần lượt là: .

Gọi .

.

Ta có:

Suy ra và .

Đường thẳng qua và có vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: .

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 3

DẠNG 3: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

Phương pháp giải: 

…………………..