Giáo án dạy thêm Toán 12 cánh diều Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số

HOẠT ĐỘNG CỦA GV – HS

DỰ KIẾN SẢN PHẨM

Bước 1: GV chuyển giao nhiệm vụ học tập

- GV đặt câu hỏi và cùng HS nhắc lại kiến thức phần lí thuyết cần ghi nhớ trong bài “Tính đơn điệu của hàm số” trước khi thực hiện các phiếu bài tập.

1. Nhắc lại định lí về tính đơn điệu của hàm số bằng dấu của đạo hàm.

2. Trình bày các bước xét tính đơn điệu của hàm số.

3. Nêu định nghĩa cực trị, giá trị cực trị của hàm số.

4. Trình bày các bước tìm cực trị của hàm số.

Bước 2: Học sinh thực hiện nhiệm vụ học tập

- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

Bước 3: Báo cáo kết quả hoạt động, thảo luận

Đại diện một số HS đứng tại chỗ trình bày kết quả.

Bước 4: Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập  

GV đưa ra nhận xét, đánh giá, chuẩn kiến thức.

1. Nhận biết tính đơn điệu của hàm số bằng dấu của đạo hàm.

Định lí

Cho hàm số   có đạo hàm trên tập , trong đó là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.

• Nếu với mọi thuộc thì hàm số đồng biến trên .

• Nếu với mọi thuộc thì hàm số nghịch biến trên .

Chú ý: Nếu hàm số đồng biến trên tập hoặc nghịch biến trên tập thì hàm số 

còn được gọi là đơn điệu trên tập . 

Ví dụ 1: Xét dấu rồi tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Giải

- Hàm số đã cho có tập xác định là .

- Ta có: ;

hoặc .

Ta có bảng xét dấu của hàm như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ; nghịch biến trên khoảng   và .

Định lí

Cho hàm số có đạo hàm trên tập , trong đó là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng. Nếu (hoặc ) với mọi thuộc thì chỉ tại một số hữu hạn điểm của thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên .

Ví dụ 2: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

Giải

- Hàm số đã cho có tập xác định là .

- Ta có: ;

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên .

Nhận xét: Để xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số , ta có thể thực hiện các bước sau:

- Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số .

- Bước 2: Tính đạo hàm . Tìm các điểm ( 1, 2, ..., ) mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

- Bước 3: Sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

- Bước 4: Căn cứ vào bảng biến thiên, nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Ví dụ 3: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

Giải

- Hàm số đã cho có tập xác định là .

- Ta có: ;

hoặc .

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng và ; nghịch biến các khoảng   và .

2. Điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số.

Định nghĩa

Cho hàm số liên tục trên , trong đó là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng và .

-  được gọi là một điểm cực đại của hàm số đã cho nếu tồn tại một khoảng () chứa điểm sao cho () và với mọi và .

Khi đó, được gọi là giá trị cực đại của hàm số đã cho, kí hiệu là .

- được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số đã cho nếu tồn tại một khoảng () chứa điểm sao cho () và với mọi và .

Khi đó, được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số đã cho, kí hiệu là .

- Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị).

Chú ý: Nếu là một điểm cực trị của hàm số thì ta nói rằng hàm số đạt cực trị tại điểm . Khi đó điểm được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số .

Ví dụ 1: Dựa vào đồ thị của hàm số 

Hãy chỉ ra các điểm cực trị của hàm số đó?

Giải

- Xét khoảng () chứa điểm .

Quan sát đồ thị của hàm số đã cho, ta thấy:

với mọi () và .

Vậy là điểm cực đại của hàm số .

- Xét khoảng () chứa điểm .

Quan sát đồ thị của hàm số đã cho, ta thấy:

với mọi () và .

Vậy là điểm cực tiểu của hàm số .

Định lí

Giả sử hàm số liên tục trên khoảng () chứa điểm và có đạo hàm trên các khoảng () và (). Khi đó:

i) Nếu với mọi () và với mọi () thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm .

ii) Nếu với mọi () và với mọi () thì hàm số đạt cực đại tại điểm .

Nhận xét: Để tìm điểm cực trị của hàm số , ta có thể thực hiện các bước sau:

- Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số .

- Bước 2: Tính đạo hàm . Tìm các điểm ( 1, 2, ..., ) mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

- Bước 3: Sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

- Bước 4: Căn cứ vào bảng biến thiên, nêu kết luận về các điểm cực trị của hàm số.

Ví dụ 2: Tìm điểm cực trị của hàm số:

Giải

- Hàm số đã cho có tập xác định là .

- Ta có: ;

hoặc .

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đạt cực đại tại , giá trị cực đại là ; hàm số đạt cực tiểu tại  , giá trị cực tiểu là .

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Xét các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số cho bởi biểu thức.

Phương pháp giải: 

Để xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số , ta có thể thực hiện các bước sau:

- Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số .

- Bước 2: Tìm đạo hàm . Tìm các điểm ( 1, 2, ..., ) mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

- Bước 3: Sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

- Bước 4: Căn cứ vào bảng biến thiên, nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Bài 1. Xét dấu rồi tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

Bài 2. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

Bài 3. 

a)  Cho đồ thị có đồ thị như sau:

 Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số đó.

b) Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ.

Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Bài 4. Chứng minh rằng:

a) Hàm số đồng biến trên

b) Hàm số đồng biến trên khoảng ();

c) Hàm số nghịch biến trên khoảng ().

DẠNG 1:

Bài 1. 

a)

- Hàm số đã cho có tập xác định là .

- Ta có: ;

Ta có bảng xét dấu của hàm như sau:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên .

b)

- Hàm số đã cho có tập xác định là .

- Ta có: ;

hoặc  

Ta có bảng xét dấu của hàm như sau:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng () và (); nghịch biến trên khoảng ().

c)

- Hàm số đã cho có tập xác định là .

- Ta có: ;

hoặc  

Ta có bảng xét dấu của hàm như sau:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng () và (); nghịch biến trên các khoảng () và ().

d)

- Hàm số đã cho có tập xác định là .

- Ta có: ;

Vì với mọi nên với mọi .

Suy ra với mọi .

Ta có bảng xét dấu của hàm như sau:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng () và ()

Bài 2. 

a)

- Hàm số đã cho có tập xác định là .

- Ta có: ;

hoặc .

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng () và (); nghịch biến trên khoảng  ().

b)

- Hàm số đã cho có tập xác định là .

- Ta có: ;

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  (); nghịch biến trên khoảng ().

c)

- Hàm số đã cho có tập xác định là .

- Ta có: ;

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (); nghịch biến trên khoảng ().

 Bài 3.

a) Dựa vào đồ thị, ta thấy:

Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng và ; nghịch biến trên khoảng .

b) Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy:

 + với mọi và

+ với mọi và

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng và ; nghịch biến trên các khoảng và

Bài 4. 

a)

- Hàm số đã cho có tập xác định là .

- Ta có: ;

Vì với mọi nên với mọi .

Suy ra với mọi .

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên .

b)

- Hàm số đã cho có tập xác định là .

- Ta có: ;

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ().

c)

- Hàm số đã cho có tập xác định là .

- Ta có: với mọi .

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ().

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2

DẠNG 2: Xét tính đơn điệu của hàm hợp.

Phương pháp giải: 

Cho hàm số với là một hàm số đối với biến .

• Tính đạo hàm của

• Giải các bất phương trình hoặc lập bảng xét dấu của .

• Kết luận.

Bài 1. Cho hàm số có bảng xét dấu của như sau:

Tìm khoảng nghịch biến của hàm số .

Bài 2. Cho hàm số có bảng biến thiên của như sau:

Tìm khoảng nghịch biến của hàm số .

Bài 3. Cho hàm số có đồ thị như sau:

Tìm khoảng đồng biến của hàm số .

Bài 4. Cho hàm số có đồ thị như sau:

Tìm khoảng đồng biến của hàm số .

Bài 5. Cho hàm số có đạo hàm . Hỏi hàm số đồng biến trên khoảng nào?