Giáo án Toán 12 kết nối Bài 12: Tích phân

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV giới thiệu khái niệm hình thang cong.

- HS quan sát hình ảnh trong Ví dụ 1.

Xác định hình thang cong và các đường giới hạn.

- HS thực hiện HĐ 1.

a) Khi xác định độ dài đáy lớn, đáy nhỏ, chiều cao của hình thang.

b) Khi xác định độ dài đáy lớn, đáy nhỏ, chiều cao của hình thang theo

c) đạo hàm hàm tìm được ở b.

- HS thực hiện HĐ 2.

+ a) Xác định kích thước của các hình chữ nhật MNPQ và MNEF,

Dựa vào hình vẽ so sánh .

Từ đó chứng minh kết quả.

+ b) Với điều kiện ,  .

Thực hiện tương tự phần a.

+ c) Để dễ hình dung, ta đặt:

.

Từ câu a và b có:

 .

Vậy giá trị tuyệt đối của | sẽ như thế nào?

Áp dụng định nghĩa đạo hàm

để chứng minh

+ d) Tính S theo hướng dẫn.

Ta nhận thấy: .

- GV giới thiệu: diện tích của hình thang giới hạn bởi các đường y = f(x), trục hoành, đường thẳng x=1, x=2 là với F(x) là một nguyên hàm của f(x).

- Tổng quát có cách tính diện tích hình thang cong.

- GV hướng dẫn HS làm Ví dụ 2.

+ Xác định nguyên hàm của f(x).

+ Tính diện tích của hình thang cong theo công thức.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn. 

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

1. Khái niệm tích phân

a) Diện tích hình thang cong

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị , trục hoành và hai đường thẳng , trong đó ) là hàm liên tục không âm trên đoạn [a; b], gọi là một hình thang cong.

Ví dụ 1 (SGK -tr.12)

HĐ 1:

Kí hiệu và lần lượt là giao điểm của đường thẳng với đường thẳng .

Khi đó .
Ta có: .
Khi đó diện tích hình thang T là .

b)

Gọi và lần lượt là giao điểm của đường thẳng với đường thẳng .

Khi đó .
Do đó .

Khi đó diện tích hình thang là
.

Do đó là một nguyên hàm của hàm số .
+) Có
Do đó .

HĐ 2:

a) Với , kí hiệu và lần lượt là diện tích các hình chữ nhật MNPQ và MNEF, ta có: 

+) Hình chữ nhật MNPQ có kích thước:

Hình chữ nhật MNEF có kích thước:

+) 

Từ hình vẽ:

hay .
Suy ra .

b) 

Với và , kí hiệu và lần lượt là diện tích các hình chữ nhật MNPQ và MNEF, ta có 

hay .
Suy ra .
c) Dựa vào kết quả của câu ta suy ra với mọi , ta có:
Suy ra .

d) Vì S(1) nên

Vậy
Ta có

 

+) +C là một nguyên hàm của trên .
Khi đó .

Ta thấy .

Kết luận

Nếu hàm số liên tục và không âm trên đoạn thì diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị , trục hoành và hai đường thẳng là , trong đó là một nguyên hàm của hàm số trên đoạn .

Ví dụ 2 (SGK -tr.14)

HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS làm HĐ 3.

Sử dụng chú ý:

- Từ đó ta có định nghĩa tích phân.

- GV giới thiệu kí hiệu, các thuật ngữ liên quan.

+ Chú ý tính chất tích phân a =b và a > b; tích phân không phụ thuộc vào cách kí hiệu biến.

- HS quan sát Ví dụ 3, làm Luyện tập 1: tính tích phân dựa vào định nghĩa.

Xác định nguyên hàm của hàm số, rồi tính tích phân.

- GV giới thiệu ý nghĩa hình học của tích phân.

- GV hướng dẫn HS làm Ví dụ 4: tính tích phân bằng cách sử dụng ý nghĩa hình học.

+ Tích phân cần tính chính là hình giới hạn bởi các đường. Từ đó để tính tích phân ta có thể tính diện tích hình giới hạn đó.

- Tương tự HS thực hiện Luyện tập 2.

GV hướng dẫn HS vẽ đồ thị các hàm số, các đường giới hạn tương ứng theo bài, rồi tính diện tích hình.

.................

1.

b) Định nghĩa tích phân

HĐ 3: 

Vì và là hai nguyên hàm của trên đoạn nên tồn tại một hằng số C sao cho

Do đó

Khái niệm

Cho là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu là một nguyên hàm cúa hàm số trên đoạn thì hiệu số được gọi là tích phân từ đến của hàm số , kí hiệu là .
Chú ý:

Tích phân không phụ thuộc vào cách kí hiệu biến:

a) Hiệu thường được kí hiệu là .

Như vậy

b) Ta gọi là dá́u tích phân, a là cận dưới, là cận trên, là biểu thức dưới dấu tích phân và là hàm số dưới dấu tích phân.
c) Trong trường hợp hoặc , ta quy ước:

Ví dụ 3 (SGK -tr.15)

Luyện tập 1

a)
b)
c) .
d) .

Ý nghĩa hình học của tích phân

Nếu hàm số liên tục và không âm trên đoạn , thì tích phân là diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị , trục hoành và hai đường thẳng ,  

Vậy

Ví dụ 4 (SGK -tr.15)

Luyện tập 2

.................