Giáo án Toán 11 cánh diều Chương 5 Bài 2: Biến cố hợp và biến cố giao. Biến cố độc lập. Các quy tắc tính xác suất

Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất một lần (Hình 1). Xét các biến cố ngẫu nhiên sau:

A: “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là số chẵn”.

B: “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là số chia hết cho 3”.

C: “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là số chẵn hoặc chia hết cho 3”.

Biến cố C có liên hệ như thế ào với hai biến cố A và B?

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

NV1: Tìm hiểu biến cố hợp

- GV tổ chức HĐ1 cho HS theo luận theo nhóm đôi, đọc và thực hiện các yêu cầu của HĐ.

+ GV chỉ định 1 HS trình bày đáp án câu a) và 3 – 4 HS nêu ý kiến phát biểu cho câu b.

+ Các HS khác cho ý kiến nhận xét.

 GV chốt đáp án và dẫn dắt HS vào Khái niệm Biến cố hợp.

+ GV trình chiếu, hoặc ghi bảng và giảng giải cho HS về Khái niệm Biến cố hợp.

- GV giải thích, trình bày về kết quả thuận lợi cho một biến cố và biến cố có thể phát biểu dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện thông qua phần Chú ý trong SGK.

- HS vận dụng kiến thức mục Chú ý để thực hiện tìm hiểu Ví dụ 1 theo hướng dẫn trong SGK.

+ GV chỉ định 1 HS trình bày và giải thích đáp án.

- GV triển khai Luyện tập 1 cho HS thảo luận nhoma đôi thực hiện

+ GV đặt câu hỏi gợi ý:

• Biến cố : “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 3” là những số nào?

• Biến cố : “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 4” là những số

nào?

+ GV mời 2 HS trả lời câu hỏi và phát biểu biến cố  dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện.

NV2: Tìm hiểu về biến cố giao

- GV triển khai HĐ2 cho HS suy nghĩ và thực hiện.

+ Liệt kê các phần tử của tập hợp ?

+ Từ đó phát biểu biến cố  dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện?

- GV giới thiệu, giảng giải Định nghĩa Biến cố giao cho HS.

- GV nhắc lại định nghĩa của Biến cố hợp, sau đó nêu câu hỏi (Ví dụ) cho HS hiểu rõ hơn về Định nghĩa: Nếu biến cố  là “Quả cầu được rút ra từ hộp có màu đỏ” và Biến cố  là “Quả cầu được rút ra từ hộp có số là 1”, thì biến cố hợp là gì?

 GV mời 1 – 2 HS trả lời câu hỏi.

+ GV chỉ ra rằng:

• Biến cố hợp có thể được phát biểu dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện là “Cả  và  cùng xảy ra”.

• Điều này có nghĩa là để biến cố hợp xảy ra, cả hai biến cố  và  đều phải xảy ra.

- HS thực hiện tìm hiểu, nghiên cứu Ví dụ 2 theo SGK theo bạn cùng bàn sau đó trình bày lại vào vở.

- HS thảo luận nhóm đôi theo bàn, vận dụng Định nghĩa vào thực hiện Luyện tập 2

+ Liệt kê các số chấm ở biến cố  và

+ HS phát biểu biến cố ?

+ GV chỉ định 1 HS đứng tại chỗ trình bày câu trả lời.

NV3: Tìm hiểu biến cố xung khắc

- GV cho HS nghiên cứu nội dung của HĐ3 và thảo luận nhóm đôi thực hiện các yêu cầu của HĐ.

+ GV mời 1 HS lên bảng viết các tập con  của không gian mẫu .

+ HS tìm tập hợp

 GV chốt đáp án và giới thiệu cho HS về Định nghĩa của Biến cố xung khắc

- GV trình bày, giải thích về Định nghĩa cho HS rằng:

• Hai biến cố  và  xung khắc khi và chỉ khi

• Điều này có nghĩa là không có kết quả nào có thể là kết quả thuận lợi cho cả hai biến cố  và .

• Do đó, nếu biến cố  xảy ra thì biến cố  không thể xảy ra, và ngược lại.

- HS đọc – hiểu Ví dụ 3 theo hướng dẫn trong SGK.

- HS vận dụng Định nghĩa của biến cố xung khắc thực hiện Luyện tập 3

+ GV mời 1 HS phát biểu đáp án.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HĐ cá nhân: HS suy nghĩ, hoàn thành vở.

- HĐ cặp đôi, nhóm: các thành viên trao đổi, đóng góp ý kiến và thống nhất đáp án.

Cả lớp chú ý thực hiện các yêu cầu của GV, chú ý bài làm các bạn và nhận xét.

- GV: quan sát và trợ giúp HS.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS trả lời trình bày miệng/ trình bày bảng, cả lớp nhận xét, GV đánh giá, dẫn dắt, chốt lại kiến thức.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm

+ Định nghĩa, tính chất của biến cố hợp;

+ Định nghĩa, tính chất của biến cố giao với biến cố hợp;

+ Định nghĩa biến cố xung khắc.

I. Phép toán trên các biến cố

1. Biến cố hợp

HĐ1

a)

b) Biến cố  là “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là số chẵn hoặc chia hết cho 3”

Khái niệm

Cho hai biến cố  và . Khi đó  là các tập con của không gian mẫu . Đặt , ta có  là một biến cố và được gọi là biến cố hợp của hai biến cố  và , kí hiệu

Chú ý: Xét một kết quả thuận lợi  cho biến cố , tức là .

Vì  nên  hoặc . Tức là biến cố  hoặc biến cố  xảy ra.

Vì vậy, biến cố  có thể phát biểu là “  xảy ra hoặc  xảy ra ” hay “Có ít nhất một trong các biến cố  xảy ra”.

Ví dụ 1: (SGK – tr.16)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.16)

Luyện tập 1

Ta có:

 và

. Vậy biến cố  là “Số thẻ rút được là số chia hết cho 3 hoặc 4”.

2. Biến cố giao

HĐ2

Ta có:

Biến cố  “Mặt 6 chấm xuất hiện ở cả biến cố  và biến cố ”.

Định nghĩa

Cho hai biến cố  và . Khi đó  là các tập hợp con của không gian mẫu . Đặt , ta có  là một biến cố và được gọi là biến cố giao của hai biến cố  và , kí hiệu à  hay .

Chú ý:

Xét một kết quả thuận lợi  cho biến cố , tức là .

Vì  nên  và . Nghĩa là cả hai biến cố  và  cùng xảy ra.

Vì vậy, biến cố  có thể phát biểu là “Cả  và  cùng xảy ra”.

Ví dụ 2: (SGK – tr.17)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.17)

Luyện tập 2

Ta có:

Biến cố  “Số chấm xuất hiện ở cả hai lần gieo là số lẻ”.

3. Biến cố xung khắc

HĐ3

Ta có:

Định nghĩa

Cho hai biến cố  và . Khi đó  là các tập con của không gian mẫu . Nếu  thì  và  gọi là biến cố xung khắc.

Chú ý: Xét một kết quả thuận lợi  cho biến cố , tức là . Vì  nên , tức là  không là một kết quả thuận lợi cho biến cố . Do đó, hai biến cố  và  xung khắc khi và chỉ khi nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra.

Ví dụ 3: (SGK – tr.17)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.18)

Luyện tập 3

Biến cố  xung khắc biến cố .

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV triển khai HĐ4 và hướng dẫn, giải thích cho HS thực hiện yêu cầu.

+ Một kết quả thuận lợi cho biến cố  là xuất hiện mặt  ở lần tung thứ nhất.

+ Một kết quả thuận lợi cho biến cố  là xuất hiện mặt  ở lần tung thứ hai.

+ Do đồng xu cân đối, đồng chất nên mỗi lần tung, xác suất xuất hiện mặt  và mặt  là bằng nhau

+ Nếu lần tung thứ nhất xuất hiện mặt , thì xác suất xuất hiện mặt  ở lần tung thứ hai vẫn là .

 Vậy biến cố  và  không ảnh hưởng gì đến nhau.

 GV nhận định: Biến cố  và biến cố  trong phần HĐ4 trên được gọi là hai biến cố độc lập với nhau.

+ GV giới thiệu, giảng giải cho HS về Định nghĩa Biến cố độc lập.

- GV trình chiếu, hoặc ghi bảng phần Chú ý cho HS quan sát, ghi chép.

- GV hướng dẫn cho HS thực hiện Ví dụ 4 để nắm rõ hơn Định nghĩa hai biến cố độc lập

+ ý a) Khi biến cố  xảy ra và Khi không xảy ra, thì xác suất lấy được quả bóng màu đỏ của biến cố  là bao nhiêu?

 Vậy việc mà biến cố  xảy ra hay không có ảnh hưởng gì đến biến cố  không?

Xác suất xảy ra của biến cố  là bao nhiêu? Có phụ thuộc vào việc biến cố  xảy ra hay không?

+ ý b) GV mời 1 HS nhắc lại Khái niệm biến cố xung khắc và thực hiện yêu cầu của Ví dụ.

- HS thảo luận nhóm đôi thực hiện Luyện tập 4

+ Viết tập con  và nêu xác suất của biến cố  khi biến cố  xảy ra hoặc không xảy ra? Và ngược lại.

+ Có kết quả nào thỏa mãn cho cả hai biến cố  và  không? Nhận xét về sự xung khắc của hai biến cố?

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HĐ cá nhân: HS suy nghĩ, hoàn thành vở.

- HĐ cặp đôi, nhóm: các thành viên trao đổi, đóng góp ý kiến và thống nhất đáp án.

Cả lớp chú ý thực hiện các yêu cầu của GV, chú ý bài làm các bạn và nhận xét.

- GV: quan sát và trợ giúp HS.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS trả lời trình bày miệng/ trình bày bảng, cả lớp nhận xét, GV đánh giá, dẫn dắt, chốt lại kiến thức.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm

+ Định nghĩa biến cố độc lập.

II. Biến cố độc lập

HĐ4

- Một kết quả thuận lợi cho biến cố  là xuất hiện mặt  ở lần tung thứ nhất (xác suất là ).

- Một kết quả thuận lợi cho biến cố  là xuất hiện mặt  ở lần tung thứ hai (xác suất là ).

=> Kết quả thuận lợi cho biến cố  không ảnh hưởng gì đến xác xuất xảy ra của biến cố .

Định nghĩa

Cho hai biến cố  và . Hai biến cố  và  được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia.

Chú ý

Nếu  là hai biến cố độc lập thì mỗi cặp biến cố sau cũng độc lập:  và ;  và ; và .

Ví dụ 4: (SGK – tr.18)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.19)

Luyện tập 4

* Ta có:  và

+ Khi biến cố  xảy ra hay không xảy ra thì xác suất của biến cố  đều là

+ Khi biến cố  xảy ra hay không xảy ra thì xác suất của biến cố  đều là

=> Biến cố  và  độc lập với nhau.

* Biến cố  và  không xung khắc, vì có kết quả thỏa mãn của  và .

Kết quả  là kết quả thuận lợi cho cả hai biến cố  và . Do đó .

Vậy  và  không xung khắc